Задача: По данным чертежа найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Укажите значение радиуса, умноженное на 9.
Решение:
1. На чертеже изображен треугольник ABC. Проведена высота BH к стороне AC. Указаны длины сторон: \(AB = 13\), \(BH = 12\). Также отмечено, что треугольник ABC является равнобедренным, так как стороны AB и BC обозначены одинаковыми штрихами, то есть \(AB = BC = 13\).
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, H — середина AC, и \(AH = HC\).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. У нас есть гипотенуза \(AB = 13\) и катет \(BH = 12\). Найдем второй катет AH по теореме Пифагора:
\[AH^2 = AB^2 - BH^2\] \[AH^2 = 13^2 - 12^2\] \[AH^2 = 169 - 144\] \[AH^2 = 25\] \[AH = \sqrt{25}\] \[AH = 5\]4. Так как \(AH = 5\), то \(HC = 5\). Длина основания AC равна \(AH + HC = 5 + 5 = 10\).
5. Теперь у нас есть все стороны треугольника ABC: \(AB = 13\), \(BC = 13\), \(AC = 10\).
6. Для нахождения радиуса \(r\) вписанной окружности можно использовать формулу: \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр треугольника.
7. Найдем площадь треугольника ABC:
Площадь треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).
В нашем случае основание \(AC = 10\), высота \(BH = 12\).
\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12\] \[S = 5 \cdot 12\] \[S = 60\]8. Найдем полупериметр треугольника ABC:
Периметр \(P = AB + BC + AC = 13 + 13 + 10 = 36\).
Полупериметр \(p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18\).
9. Найдем радиус вписанной окружности \(r\):
\[r = \frac{S}{p}\] \[r = \frac{60}{18}\] \[r = \frac{10}{3}\]10. Укажем значение радиуса, умноженное на 9:
\[r \cdot 9 = \frac{10}{3} \cdot 9\] \[r \cdot 9 = 10 \cdot 3\] \[r \cdot 9 = 30\]Ответ: 30