№1
Найти производную функции:
5) \( (4x - 3)^2 \)
Решение:
Для нахождения производной используем правило производной сложной функции \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\).
В данном случае \(u = 4x - 3\) и \(n = 2\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = (4x - 3)' = (4x)' - (3)' = 4 - 0 = 4\).
Теперь подставим в формулу:
\(( (4x - 3)^2 )' = 2 \cdot (4x - 3)^{2-1} \cdot (4x - 3)'\)
\(= 2 \cdot (4x - 3)^1 \cdot 4\)
\(= 8 \cdot (4x - 3)\)
\(= 32x - 24\)
Ответ: \(32x - 24\)
6) \( (2 - 4x)^5 \)
Решение:
Снова используем правило производной сложной функции \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\).
Здесь \(u = 2 - 4x\) и \(n = 5\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = (2 - 4x)' = (2)' - (4x)' = 0 - 4 = -4\).
Теперь подставим в формулу:
\(( (2 - 4x)^5 )' = 5 \cdot (2 - 4x)^{5-1} \cdot (2 - 4x)'\)
\(= 5 \cdot (2 - 4x)^4 \cdot (-4)\)
\(= -20 \cdot (2 - 4x)^4\)
Ответ: \(-20 \cdot (2 - 4x)^4\)
№2
Найти производную функции:
1) \( f(x) = \cos 3x \)
Решение:
Используем правило производной сложной функции \(( \cos u )' = - \sin u \cdot u'\).
Здесь \(u = 3x\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = (3x)' = 3\).
Теперь подставим в формулу:
\(f'(x) = ( \cos 3x )' = - \sin 3x \cdot (3x)'\)
\(= - \sin 3x \cdot 3\)
\(= -3 \sin 3x\)
Ответ: \(-3 \sin 3x\)
2) \( f(x) = \sin (2x - \pi) \)
Решение:
Используем правило производной сложной функции \(( \sin u )' = \cos u \cdot u'\).
Здесь \(u = 2x - \pi\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = (2x - \pi)' = (2x)' - (\pi)' = 2 - 0 = 2\).
Теперь подставим в формулу:
\(f'(x) = ( \sin (2x - \pi) )' = \cos (2x - \pi) \cdot (2x - \pi)'\)
\(= \cos (2x - \pi) \cdot 2\)
\(= 2 \cos (2x - \pi)\)
Ответ: \(2 \cos (2x - \pi)\)
3) \( f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{2} \)
Решение:
Используем правило производной сложной функции \(( \operatorname{tg} u )' = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u'\).
Здесь \(u = \frac{x}{2}\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = \left( \frac{x}{2} \right)' = \left( \frac{1}{2} x \right)' = \frac{1}{2}\).
Теперь подставим в формулу:
\(f'(x) = \left( \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right)' = \frac{1}{\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \cdot \left( \frac{x}{2} \right)'\)
\(= \frac{1}{\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \cdot \frac{1}{2}\)
\(= \frac{1}{2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)}\)
Ответ: \(\frac{1}{2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)}\)
4) \( f(x) = (3 - 4x)^6 \)
Решение:
Используем правило производной сложной функции \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\).
Здесь \(u = 3 - 4x\) и \(n = 6\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = (3 - 4x)' = (3)' - (4x)' = 0 - 4 = -4\).
Теперь подставим в формулу:
\(f'(x) = ( (3 - 4x)^6 )' = 6 \cdot (3 - 4x)^{6-1} \cdot (3 - 4x)'\)
\(= 6 \cdot (3 - 4x)^5 \cdot (-4)\)
\(= -24 \cdot (3 - 4x)^5\)
Ответ: \(-24 \cdot (3 - 4x)^5\)
5) \( f(x) = \sqrt{\cos x} \)
Решение:
Перепишем функцию в виде степени: \(f(x) = (\cos x)^{1/2}\).
Используем правило производной сложной функции \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\).
Здесь \(u = \cos x\) и \(n = \frac{1}{2}\).
Найдем производную \(u'\):
\(u' = (\cos x)' = -\sin x\).
Теперь подставим в формулу:
\(f'(x) = \left( (\cos x)^{1/2} \right)' = \frac{1}{2} \cdot (\cos x)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (\cos x)'\)
\(= \frac{1}{2} \cdot (\cos x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-\sin x)\)
Перепишем \(( \cos x )^{-\frac{1}{2}}\) как \(\frac{1}{\sqrt{\cos x}}\):
\(= \frac{1}{2 \sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x)\)
\(= -\frac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}}\)
Ответ: \(-\frac{\sin x}{2 \sqrt{\cos x}}\)