Задача: Треугольники ABC и A1B1C1 подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{3}{4}\). Площадь одного из них на 14 больше площади другого. Найдите площадь меньшего треугольника.
Решение:
1. Обозначим площади треугольников как \(S_{ABC}\) и \(S_{A_1B_1C_1}\).
2. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. То есть:
\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2\]3. Нам дан коэффициент подобия \(k = \frac{3}{4}\). Тогда:
\[k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\]4. Значит, \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{9}{16}\).
5. Поскольку \(k = \frac{3}{4} < 1\), это означает, что треугольник ABC меньше треугольника A1B1C1. Следовательно, \(S_{ABC}\) — это площадь меньшего треугольника, а \(S_{A_1B_1C_1}\) — площадь большего треугольника.
6. Из условия задачи известно, что площадь одного из них на 14 больше площади другого. Так как \(S_{A_1B_1C_1}\) больше, то:
\[S_{A_1B_1C_1} - S_{ABC} = 14\]7. Из отношения площадей \(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{9}{16}\) мы можем выразить одну площадь через другую. Например, выразим \(S_{A_1B_1C_1}\) через \(S_{ABC}\):
\[S_{A_1B_1C_1} = \frac{16}{9} S_{ABC}\]8. Подставим это выражение во второе уравнение:
\[\frac{16}{9} S_{ABC} - S_{ABC} = 14\]9. Вынесем \(S_{ABC}\) за скобки:
\[S_{ABC} \left(\frac{16}{9} - 1\right) = 14\] \[S_{ABC} \left(\frac{16}{9} - \frac{9}{9}\right) = 14\] \[S_{ABC} \left(\frac{16 - 9}{9}\right) = 14\] \[S_{ABC} \cdot \frac{7}{9} = 14\]10. Теперь найдем \(S_{ABC}\):
\[S_{ABC} = 14 \div \frac{7}{9}\] \[S_{ABC} = 14 \cdot \frac{9}{7}\] \[S_{ABC} = \frac{14 \cdot 9}{7}\] \[S_{ABC} = 2 \cdot 9\] \[S_{ABC} = 18\]11. Площадь меньшего треугольника \(S_{ABC}\) равна 18.
Ответ: 18