Нахождение диагоналей параллелограмма

Решение задачи: Нам дан параллелограмм со сторонами \(AB = 10\) см и \(BC = 6\) см. Один из углов параллелограмма равен \(120^\circ\). Нужно найти длины диагоналей параллелограмма. Пусть параллелограмм будет \(ABCD\). Известно, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Если один угол, например \(\angle A\), равен \(120^\circ\), то соседний с ним угол, например \(\angle B\), будет равен \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Противоположные углы в параллелограмме равны, то есть \(\angle C = \angle A = 120^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 60^\circ\). Для нахождения диагоналей воспользуемся теоремой косинусов. 1. Найдем длину диагонали \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нем известны стороны \(AB = 10\) см, \(BC = 6\) см и угол между ними \(\angle B = 60^\circ\). По теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\) \(AC^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\) Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). \(AC^2 = 100 + 36 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}\) \(AC^2 = 136 - 60\) \(AC^2 = 76\) \(AC = \sqrt{76}\) Разложим \(76\) на множители: \(76 = 4 \cdot 19\). \(AC = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}\) см. 2. Найдем длину диагонали \(BD\). Рассмотрим треугольник \(ABD\). В нем известны стороны \(AB = 10\) см, \(AD = BC = 6\) см (так как противоположные стороны параллелограмма равны) и угол между ними \(\angle A = 120^\circ\). По теореме косинусов: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)\) \(BD^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)\) Мы знаем, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). \(BD^2 = 100 + 36 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})\) \(BD^2 = 136 + 60\) \(BD^2 = 196\) \(BD = \sqrt{196}\) \(BD = 14\) см. Итак, длины диагоналей параллелограмма равны \(14\) см и \(2\sqrt{19}\) см. Среди предложенных вариантов ответов: * \(14\) и \(2\sqrt{19}\) * \(\sqrt{14}\) и \(\sqrt{19}\) * \(\sqrt{13}\) и \(19\) * \(7\) и \(3\) Наш результат совпадает с первым вариантом. Ответ: \(14\) и \(2\sqrt{19}\).