Решение задачи:
Нам дан параллелограмм со сторонами \(AB = 10\) см и \(BC = 6\) см. Один из углов параллелограмма равен \(120^\circ\). Нужно найти длины диагоналей параллелограмма.
Пусть параллелограмм будет \(ABCD\).
Известно, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\).
Если один угол, например \(\angle A\), равен \(120^\circ\), то соседний с ним угол, например \(\angle B\), будет равен \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Противоположные углы в параллелограмме равны, то есть \(\angle C = \angle A = 120^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 60^\circ\).
Для нахождения диагоналей воспользуемся теоремой косинусов.
1. Найдем длину диагонали \(AC\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\). В нем известны стороны \(AB = 10\) см, \(BC = 6\) см и угол между ними \(\angle B = 60^\circ\).
По теореме косинусов:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\] \[AC^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\]Мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).
\[AC^2 = 100 + 36 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}\] \[AC^2 = 136 - 60\] \[AC^2 = 76\] \[AC = \sqrt{76}\]Разложим \(76\) на множители: \(76 = 4 \cdot 19\).
\[AC = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}\] см.2. Найдем длину диагонали \(BD\).
Рассмотрим треугольник \(ABD\). В нем известны стороны \(AB = 10\) см, \(AD = BC = 6\) см (так как противоположные стороны параллелограмма равны) и угол между ними \(\angle A = 120^\circ\).
По теореме косинусов:
\[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)\] \[BD^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)\]Мы знаем, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).
\[BD^2 = 100 + 36 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})\] \[BD^2 = 136 + 60\] \[BD^2 = 196\] \[BD = \sqrt{196}\] \[BD = 14\] см.Итак, длины диагоналей параллелограмма равны \(14\) см и \(2\sqrt{19}\) см.
Среди предложенных вариантов ответов:
- \(14\) и \(2\sqrt{19}\)
- \(\sqrt{14}\) и \(\sqrt{19}\)
- \(\sqrt{13}\) и \(19\)
- \(7\) и \(3\)
Наш результат совпадает с первым вариантом.
Ответ: \(14\) и \(2\sqrt{19}\).
```