Решение задачи: Найти третью сторону треугольника

Решение задачи: Нам дан треугольник, у которого две стороны равны \(a = \sqrt{18}\) см и \(b = 7\) см. Синус острого угла между ними равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Нужно найти третью сторону треугольника. Пусть угол между сторонами \(a\) и \(b\) будет \(\gamma\). Нам дано, что \(\sin(\gamma) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Так как угол \(\gamma\) острый, то \(\gamma = 45^\circ\). Для нахождения третьей стороны \(c\) воспользуемся теоремой косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)\] Сначала найдем \(\cos(\gamma)\). Мы знаем, что \(\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1\). \[\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)\] \[\cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\] \[\cos^2(\gamma) = 1 - \frac{2}{4}\] \[\cos^2(\gamma) = 1 - \frac{1}{2}\] \[\cos^2(\gamma) = \frac{1}{2}\] Так как угол \(\gamma\) острый, то \(\cos(\gamma)\) должен быть положительным. \[\cos(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Действительно, для \(\gamma = 45^\circ\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь подставим известные значения в формулу теоремы косинусов: \[c^2 = (\sqrt{18})^2 + 7^2 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[c^2 = 18 + 49 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[c^2 = 67 - \sqrt{18} \cdot 7 \cdot \sqrt{2}\] Упростим \(\sqrt{18}\): \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\). \[c^2 = 67 - 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{2}\] \[c^2 = 67 - 21 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})\] \[c^2 = 67 - 21 \cdot 2\] \[c^2 = 67 - 42\] \[c^2 = 25\] \[c = \sqrt{25}\] \[c = 5\] Третья сторона треугольника равна \(5\) см. Ответ: \(5\).