Решение задачи о подобных треугольниках

Решение задачи: Дано: Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны. Коэффициент подобия \(k = \frac{3}{4}\). Площадь одного из них на 14 больше площади другого. Найти: Площадь меньшего треугольника. Решение: 1. Обозначим площади треугольников. Пусть площадь треугольника \(ABC\) будет \(S_{ABC}\), а площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) будет \(S_{A_1B_1C_1}\). 2. Вспомним свойство площадей подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. \[\frac{S_1}{S_2} = k^2\] В нашем случае, \(k = \frac{3}{4}\). Значит, \[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\] 3. Определим, какой треугольник имеет большую площадь. Так как отношение площадей равно \(\frac{9}{16}\), это означает, что площадь треугольника, которая стоит в числителе (в данном случае \(S_{ABC}\)), меньше площади треугольника, которая стоит в знаменателе (в данном случае \(S_{A_1B_1C_1}\)). То есть, \(S_{ABC} < S_{A_1B_1C_1}\). Значит, \(S_{A_1B_1C_1}\) - это большая площадь, а \(S_{ABC}\) - это меньшая площадь. 4. Используем условие, что площадь одного из них на 14 больше площади другого. Поскольку \(S_{A_1B_1C_1}\) больше, то: \[S_{A_1B_1C_1} - S_{ABC} = 14\] 5. Выразим одну площадь через другую, используя отношение площадей. Из \[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{9}{16}\] можно выразить \(S_{ABC}\): \[S_{ABC} = \frac{9}{16} S_{A_1B_1C_1}\] 6. Подставим это выражение в уравнение из пункта 4. \[S_{A_1B_1C_1} - \frac{9}{16} S_{A_1B_1C_1} = 14\] 7. Решим уравнение относительно \(S_{A_1B_1C_1}\). \[\left(1 - \frac{9}{16}\right) S_{A_1B_1C_1} = 14\] \[\left(\frac{16}{16} - \frac{9}{16}\right) S_{A_1B_1C_1} = 14\] \[\frac{7}{16} S_{A_1B_1C_1} = 14\] \[S_{A_1B_1C_1} = 14 \cdot \frac{16}{7}\] \[S_{A_1B_1C_1} = 2 \cdot 16\] \[S_{A_1B_1C_1} = 32\] Это площадь большего треугольника. 8. Найдем площадь меньшего треугольника \(S_{ABC}\). Мы знаем, что \(S_{ABC} = \frac{9}{16} S_{A_1B_1C_1}\). \[S_{ABC} = \frac{9}{16} \cdot 32\] \[S_{ABC} = 9 \cdot 2\] \[S_{ABC} = 18\] Проверка: Площадь большего треугольника = 32. Площадь меньшего треугольника = 18. Разница площадей: \(32 - 18 = 14\). Это соответствует условию задачи. Отношение площадей: \(\frac{18}{32} = \frac{9}{16}\). Это соответствует квадрату коэффициента подобия \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\). Ответ: Площадь меньшего треугольника равна 18.