Решение: Длины диагоналей параллелограмма

Длины диагоналей параллелограмма Задача: Стороны параллелограмма равны \(AB = 5\) см и \(BC = \sqrt{3}\) см, а один из углов равен \(30^\circ\). Найдите диагонали параллелограмма. Решение: 1. Обозначим стороны параллелограмма как \(a\) и \(b\), а углы как \(\alpha\) и \(\beta\). Пусть \(a = AB = 5\) см. Пусть \(b = BC = \sqrt{3}\) см. Один из углов равен \(30^\circ\). В параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Если \(\alpha = 30^\circ\), то \(\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). 2. Для нахождения диагоналей параллелограмма используем обобщенную теорему косинусов. Пусть \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали параллелограмма. Одна диагональ (например, \(d_1\)) лежит напротив острого угла \(\alpha\). Другая диагональ (например, \(d_2\)) лежит напротив тупого угла \(\beta\). 3. Найдем первую диагональ \(d_1\), которая лежит напротив угла \(\alpha = 30^\circ\). По теореме косинусов: \[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\] Подставим значения: \[d_1^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\] Мы знаем, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[d_1^2 = 25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[d_1^2 = 28 - (10 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\] \[d_1^2 = 28 - (5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\] \[d_1^2 = 28 - (5 \cdot 3)\] \[d_1^2 = 28 - 15\] \[d_1^2 = 13\] Значит, \(d_1 = \sqrt{13}\) см. 4. Найдем вторую диагональ \(d_2\), которая лежит напротив угла \(\beta = 150^\circ\). По теореме косинусов: \[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \beta\] Подставим значения: \[d_2^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ\] Мы знаем, что \(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \[d_2^2 = 25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})\] \[d_2^2 = 28 - (10 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}))\] \[d_2^2 = 28 - (-5 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})\] \[d_2^2 = 28 - (-5 \cdot 3)\] \[d_2^2 = 28 - (-15)\] \[d_2^2 = 28 + 15\] \[d_2^2 = 43\] Значит, \(d_2 = \sqrt{43}\) см. 5. Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(\sqrt{13}\) см и \(\sqrt{43}\) см. 6. Сравним полученные результаты с предложенными вариантами ответа: * 13 и 43 * \(\sqrt{13}\) и \(\sqrt{43}\) * \(\sqrt{13}\) и \(\sqrt{53}\) * 16 и 25 Наш ответ \(\sqrt{13}\) и \(\sqrt{43}\) совпадает со вторым вариантом. Ответ: \(\sqrt{13}\) и \(\sqrt{43}\)