Решение задачи: диагонали параллелограмма

Отлично! Вы правильно решили задачу. Вот как это можно оформить для школьной тетради: Длины диагоналей параллелограмма Задача: Стороны параллелограмма равны \(AB = 5\) см и \(BC = \sqrt{3}\) см, а один из углов равен \(30^\circ\). Найдите диагонали параллелограмма. Решение: 1. Запишем известные данные: * Длина одной стороны параллелограмма \(a = AB = 5\) см. * Длина соседней стороны параллелограмма \(b = BC = \sqrt{3}\) см. * Один из углов параллелограмма равен \(30^\circ\). Пусть это будет острый угол \(\alpha = 30^\circ\). 2. В параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Значит, тупой угол \(\beta\) будет равен: \[\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\] 3. Для нахождения диагоналей параллелограмма будем использовать теорему косинусов. Пусть \(d_1\) — диагональ, лежащая напротив острого угла \(\alpha\). Пусть \(d_2\) — диагональ, лежащая напротив тупого угла \(\beta\). 4. Найдем первую диагональ \(d_1\). По теореме косинусов: \[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\] Подставим значения \(a=5\), \(b=\sqrt{3}\) и \(\alpha=30^\circ\): \[d_1^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\] Вспомним, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[d_1^2 = 25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[d_1^2 = 28 - (10 \cdot \frac{3}{2})\] \[d_1^2 = 28 - (5 \cdot 3)\] \[d_1^2 = 28 - 15\] \[d_1^2 = 13\] Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(d_1\): \[d_1 = \sqrt{13}\] см. 5. Найдем вторую диагональ \(d_2\). По теореме косинусов: \[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \beta\] Подставим значения \(a=5\), \(b=\sqrt{3}\) и \(\beta=150^\circ\): \[d_2^2 = 5^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ\] Вспомним, что \(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \[d_2^2 = 25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})\] \[d_2^2 = 28 - (10 \cdot (-\frac{3}{2}))\] \[d_2^2 = 28 - (-5 \cdot 3)\] \[d_2^2 = 28 - (-15)\] \[d_2^2 = 28 + 15\] \[d_2^2 = 43\] Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(d_2\): \[d_2 = \sqrt{43}\] см. 6. Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(\sqrt{13}\) см и \(\sqrt{43}\) см. Ответ: Диагонали параллелограмма равны \(\sqrt{13}\) см и \(\sqrt{43}\) см.