Решение: Найти угол B по теореме косинусов

Теорема косинусов: поиск угла Задача: Стороны треугольника \(ABC\) равны \(AB = \sqrt{3}\) см, \(BC = 5\) см и \(AC = \sqrt{13}\) см. Найдите \(\angle B\). Решение: 1. Запишем известные длины сторон треугольника: * \(c = AB = \sqrt{3}\) см * \(a = BC = 5\) см * \(b = AC = \sqrt{13}\) см 2. Нам нужно найти угол \(\angle B\). По теореме косинусов, квадрат стороны, лежащей напротив искомого угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В данном случае, сторона \(AC\) лежит напротив угла \(\angle B\). Формула теоремы косинусов для угла \(\angle B\) выглядит так: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\] 3. Выразим \(\cos \angle B\) из этой формулы: \[2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = AB^2 + BC^2 - AC^2\] \[\cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\] 4. Теперь подставим известные значения сторон в формулу для \(\cos \angle B\): \[\cos \angle B = \frac{(\sqrt{3})^2 + 5^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5}\] 5. Вычислим квадраты сторон: \[(\sqrt{3})^2 = 3\] \[5^2 = 25\] \[(\sqrt{13})^2 = 13\] 6. Подставим эти значения обратно в формулу: \[\cos \angle B = \frac{3 + 25 - 13}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}}\] \[\cos \angle B = \frac{28 - 13}{10 \sqrt{3}}\] \[\cos \angle B = \frac{15}{10 \sqrt{3}}\] 7. Упростим дробь: \[\cos \angle B = \frac{3}{2 \sqrt{3}}\] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[\cos \angle B = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\] \[\cos \angle B = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}\] \[\cos \angle B = \frac{\sqrt{3}}{2}\] 8. Теперь нам нужно найти угол, косинус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\angle B = 30^\circ\). Ответ: \(\angle B = 30^\circ\).