Решение задачи: Теорема косинусов - Поиск угла B

Отлично! Вы правильно решили задачу. Вот как это можно оформить для школьной тетради: Теорема косинусов: поиск угла Задача: Стороны треугольника \(ABC\) равны \(AB = \sqrt{3}\) см, \(BC = 5\) см и \(AC = \sqrt{13}\) см. Найдите \(\angle B\). Решение: 1. Запишем известные длины сторон треугольника: * Сторона \(c = AB = \sqrt{3}\) см. * Сторона \(a = BC = 5\) см. * Сторона \(b = AC = \sqrt{13}\) см. 2. Нам нужно найти угол \(\angle B\). Для этого воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов для стороны \(AC\) (которая лежит напротив угла \(\angle B\)) выглядит так: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\] 3. Выразим из этой формулы косинус угла \(\angle B\): Сначала перенесем \(AC^2\) в правую часть, а \(2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\) в левую: \[2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B = AB^2 + BC^2 - AC^2\] Теперь разделим обе части на \(2 \cdot AB \cdot BC\): \[\cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}\] 4. Подставим известные значения длин сторон в эту формулу: \[\cos \angle B = \frac{(\sqrt{3})^2 + 5^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5}\] 5. Выполним вычисления: * Возведем в квадрат длины сторон: \[(\sqrt{3})^2 = 3\] \[5^2 = 25\] \[(\sqrt{13})^2 = 13\] * Умножим числа в знаменателе: \[2 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 10\sqrt{3}\] 6. Подставим полученные значения обратно в формулу для \(\cos \angle B\): \[\cos \angle B = \frac{3 + 25 - 13}{10\sqrt{3}}\] \[\cos \angle B = \frac{28 - 13}{10\sqrt{3}}\] \[\cos \angle B = \frac{15}{10\sqrt{3}}\] 7. Упростим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 5: \[\cos \angle B = \frac{3}{2\sqrt{3}}\] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[\cos \angle B = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\] \[\cos \angle B = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}\] \[\cos \angle B = \frac{\sqrt{3}}{2}\] 8. Теперь нам нужно определить, какой угол имеет косинус, равный \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\angle B = 30^\circ\). Ответ: \(\angle B = 30^\circ\).