Домашнее задание по геометрии
Задача 3) по Рис. 2.176.
Дано:
Четырехугольник \(ABCD\).
\(AB = DC\)
\(AD = BC\)
Периметр треугольника \(ABC\), \(P_{ABC} = 15\) см.
Найти:
Периметр четырехугольника \(ABCD\), \(P_{ABCD}\).
Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Из условия \(AB = DC\) и \(AD = BC\) следует, что противоположные стороны четырехугольника равны. Это является признаком параллелограмма. Значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
2. Периметр параллелограмма \(ABCD\) вычисляется по формуле: \(P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD)\).
3. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Его периметр \(P_{ABC}\) равен сумме длин его сторон: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\).
4. Из условия дано, что \(P_{ABC} = 15\) см. Значит, \(AB + BC + AC = 15\) см.
5. Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(BC = AD\). Подставим это в выражение для периметра треугольника:
\(AB + AD + AC = 15\) см.
6. Мы знаем, что \(P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD)\). Из выражения для периметра треугольника мы можем выразить сумму \(AB + AD\):
\(AB + AD = 15 - AC\).
7. Теперь подставим это в формулу для периметра параллелограмма:
\(P_{ABCD} = 2 \cdot (15 - AC)\).
8. Для того чтобы найти численное значение \(P_{ABCD}\), нам необходимо знать длину диагонали \(AC\). В условии задачи эта информация не предоставлена. Возможно, в задаче подразумевается, что \(AC\) является общей стороной для двух треугольников, и ее длина должна быть известна или найдена из других данных, которые не указаны в предоставленном изображении. Если бы задача была полной, то \(AC\) должна была быть дана или вычисляема.
Если предположить, что вопрос подразумевает связь между периметрами без конкретного значения \(AC\), то ответ будет выражен через \(AC\).
Ответ:
Периметр четырехугольника \(ABCD\) равен \(2 \cdot (15 - AC)\) см.
Если бы, например, \(AC\) была равна 5 см, то \(P_{ABCD} = 2 \cdot (15 - 5) = 2 \cdot 10 = 20\) см.
Задача 4) по Рис. 2.177.
Дано:
Четырехугольник \(ABCD\).
\(AB = BC\)
\(AD = DC\)
Угол \(\angle ABD = 63^\circ\)
Угол \(\angle ADB = \)
(Значение угла \(\angle ADB\) не указано полностью на изображении. Предположим, что оно должно быть дано или найдено.)
Найти:
Вероятно, требуется найти какие-то углы или свойства четырехугольника. Так как не указано, что именно нужно найти, я опишу свойства фигуры и возможные шаги.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник \(ABD\) и треугольник \(CBD\).
2. Из условия \(AB = BC\) следует, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основанием \(AC\).
3. Из условия \(AD = DC\) следует, что треугольник \(ADC\) является равнобедренным с основанием \(AC\).
4. Четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны (\(AB=BC\) и \(AD=DC\)), называется дельтоидом (или ромбоидом). Диагональ \(BD\) является осью симметрии этого дельтоида.
5. В дельтоиде диагональ, соединяющая вершины, образованные равными сторонами (в данном случае \(BD\)), является биссектрисой углов при этих вершинах (\(\angle ABC\) и \(\angle ADC\)) и перпендикулярна другой диагонали (\(AC\)).
6. Так как \(BD\) является осью симметрии, то треугольник \(ABD\) конгруэнтен треугольнику \(CBD\) (по трем сторонам: \(AB=CB\), \(AD=CD\), \(BD\) - общая). Из конгруэнтности следует равенство соответствующих углов.
7. У нас дан угол \(\angle ABD = 63^\circ\). Так как \(BD\) является биссектрисой угла \(\angle ABC\), то \(\angle CBD = \angle ABD = 63^\circ\).
8. Тогда угол \(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 63^\circ + 63^\circ = 126^\circ\).
9. Также, из конгруэнтности треугольников \(ABD\) и \(CBD\), следует, что \(\angle ADB = \angle CDB\). Если бы значение \(\angle ADB\) было дано, мы могли бы найти \(\angle ADC\).
10. Диагонали дельтоида перпендикулярны. То есть, \(AC \perp BD\). Пусть точка пересечения диагоналей будет \(O\). Тогда \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ\).
11. В треугольнике \(AOB\): \(\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ\). Мы знаем \(\angle ABO = \angle ABD = 63^\circ\) и \(\angle AOB = 90^\circ\). Тогда \(\angle BAO = 180^\circ - 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ\).
12. Аналогично, в треугольнике \(AOD\): \(\angle DAO + \angle ADO + \angle DOA = 180^\circ\). Мы знаем \(\angle DOA = 90^\circ\). Если бы было дано \(\angle ADB\), то \(\angle ADO = \angle ADB\), и мы могли бы найти \(\angle DAO\).
Вывод:
Без полного значения \(\angle ADB\) или конкретного вопроса, что нужно найти, мы можем сделать следующие выводы:
- Четырехугольник \(ABCD\) является дельтоидом.
- Диагональ \(BD\) является осью симметрии.
- \(\angle ABC = 126^\circ\).
- Диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.
- \(\angle BAC = 27^\circ\).
- \(\angle BCA = \angle BAC = 27^\circ\) (так как треугольник \(ABC\) равнобедренный).
- \(\angle CAD = \angle ACD\) (так как треугольник \(ADC\) равнобедренный).
- \(\angle ADB = \angle CDB\).
Для полного решения задачи необходимо знать, что именно требуется найти, и полное значение угла \(\angle ADB\).