Решение контрольной работы №3: Вычисления с корнями

Хорошо, давайте решим задачи из контрольной работы №3. Контрольная работа №3 1. Вычислите: а) \(1,5\sqrt{0,36} + \frac{1}{2}\sqrt{196}\) б) \(1,5 - 7\sqrt{\frac{25}{49}}\) в) \((2\sqrt{1,5})^2\) Решение: а) \(1,5\sqrt{0,36} + \frac{1}{2}\sqrt{196} = 1,5 \cdot 0,6 + \frac{1}{2} \cdot 14 = 0,9 + 7 = 7,9\) б) \(1,5 - 7\sqrt{\frac{25}{49}} = 1,5 - 7 \cdot \frac{5}{7} = 1,5 - 5 = -3,5\) в) \((2\sqrt{1,5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{1,5})^2 = 4 \cdot 1,5 = 6\) 2. Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{0,36 \cdot 25}\) б) \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\) в) \(\sqrt{2^4 \cdot 5^2}\) г) \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\) д) \(6\sqrt{\frac{1}{36}}\) е) \(10\sqrt{3,24} - \sqrt{256}\) Решение: а) \(\sqrt{0,36 \cdot 25} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{25} = 0,6 \cdot 5 = 3\) б) \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12\) в) \(\sqrt{2^4 \cdot 5^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{5^2} = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20\) г) \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3\) д) \(6\sqrt{\frac{1}{36}} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{36}} = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1\) е) \(10\sqrt{3,24} - \sqrt{256} = 10 \cdot 1,8 - 16 = 18 - 16 = 2\) 3. Решить уравнения: а) \(x^2 = 0,64\) б) \(x^2 = 17\) в) \(x^2 = 13\) г) \(x^2 = -100\) д) \(\sqrt{x} = 36\) е) \(\sqrt{x} = -25\) Решение: а) \(x^2 = 0,64\) \(x = \pm\sqrt{0,64}\) \(x = \pm 0,8\) Ответ: \(x_1 = 0,8\), \(x_2 = -0,8\) б) \(x^2 = 17\) \(x = \pm\sqrt{17}\) Ответ: \(x_1 = \sqrt{17}\), \(x_2 = -\sqrt{17}\) в) \(x^2 = 13\) \(x = \pm\sqrt{13}\) Ответ: \(x_1 = \sqrt{13}\), \(x_2 = -\sqrt{13}\) г) \(x^2 = -100\) Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Ответ: Нет корней. д) \(\sqrt{x} = 36\) Возведем обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{x})^2 = 36^2\) \(x = 1296\) Ответ: \(x = 1296\) е) \(\sqrt{x} = -25\) Уравнение не имеет решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Ответ: Нет корней. 4. Упростить выражение: а) \(y^3\sqrt{4y^2}\), где \(y \ge 0\) б) \(7a\sqrt{\frac{16}{a^2}}\), где \(a < 0\) Решение: а) \(y^3\sqrt{4y^2}\) Так как \(y \ge 0\), то \(\sqrt{y^2} = y\). \(y^3\sqrt{4y^2} = y^3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{y^2} = y^3 \cdot 2 \cdot y = 2y^{3+1} = 2y^4\) Ответ: \(2y^4\) б) \(7a\sqrt{\frac{16}{a^2}}\) Так как \(a < 0\), то \(\sqrt{a^2} = |a| = -a\). \(7a\sqrt{\frac{16}{a^2}} = 7a \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{a^2}} = 7a \cdot \frac{4}{|a|} = 7a \cdot \frac{4}{-a}\) \( = \frac{28a}{-a} = -28\) Ответ: \(-28\) 5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число \(\sqrt{38}\). Решение: Найдем квадраты целых чисел, близких к 38: \(6^2 = 36\) \(7^2 = 49\) Значит, \(6 < \sqrt{38} < 7\). Теперь попробуем десятичные дроби с одним знаком после запятой: \(6,1^2 = 37,21\) \(6,2^2 = 38,44\) Таким образом, \(37,21 < 38 < 38,44\), что означает \(6,1 < \sqrt{38} < 6,2\). Ответ: \(6,1\) и \(6,2\). 6. Найдите значение выражения: \(\sqrt{a+c}\) при \(a = 0,47\), \(b = 0,34\); \(a = \frac{1}{4}\), \(b = \frac{4}{9}\). (В условии задачи, вероятно, опечатка, так как в выражении \(\sqrt{a+c}\) присутствует \(c\), но даны значения \(a\) и \(b\). Предположим, что выражение должно быть \(\sqrt{a+b}\) или \(\sqrt{a \cdot b}\) или что-то подобное. Если это опечатка, и имелось в виду \(\sqrt{a+b}\), то решим для этого случая. Если нет, пожалуйста, уточните.) Предположим, что выражение \(\sqrt{a+c}\) на самом деле \(\sqrt{a+b}\). Случай 1: \(a = 0,47\), \(b = 0,34\) \(\sqrt{a+b} = \sqrt{0,47 + 0,34} = \sqrt{0,81} = 0,9\) Ответ: \(0,9\) Случай 2: \(a = \frac{1}{4}\), \(b = \frac{4}{9}\) \(\sqrt{a+b} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{9}}\) Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{9}{36} + \frac{16}{36} = \frac{9+16}{36} = \frac{25}{36}\) Теперь найдем корень: \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}\) Ответ: \(\frac{5}{6}\) 7. Имеет ли корни уравнение \(\sqrt{x-2} = 1\)? Решение: Чтобы уравнение \(\sqrt{x-2} = 1\) имело корни, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть \(x-2 \ge 0\). Возведем обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{x-2})^2 = 1^2\) \(x-2 = 1\) \(x = 1+2\) \(x = 3\) Проверим условие \(x-2 \ge 0\): \(3-2 = 1 \ge 0\). Условие выполняется. Значит, уравнение имеет корень \(x=3\). Ответ: Да, имеет. Корень \(x=3\).