В-1
1. Упростить:
а) \(3\sqrt{8} - \sqrt{50} + 2\sqrt{18}\)
Решение:
\(3\sqrt{8} - \sqrt{50} + 2\sqrt{18} = 3\sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{25 \cdot 2} + 2\sqrt{9 \cdot 2}\)
\(= 3 \cdot 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 2 \cdot 3\sqrt{2}\)
\(= 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\)
\(= (6 - 5 + 6)\sqrt{2}\)
\(= 7\sqrt{2}\)
Ответ: \(7\sqrt{2}\)
б) \(\sqrt{160a^2} + 2\sqrt{40a^2} - 3\sqrt{90a^2}\)
Решение:
\(\sqrt{160a^2} + 2\sqrt{40a^2} - 3\sqrt{90a^2} = \sqrt{16 \cdot 10 \cdot a^2} + 2\sqrt{4 \cdot 10 \cdot a^2} - 3\sqrt{9 \cdot 10 \cdot a^2}\)
\(= 4|a|\sqrt{10} + 2 \cdot 2|a|\sqrt{10} - 3 \cdot 3|a|\sqrt{10}\)
\(= 4|a|\sqrt{10} + 4|a|\sqrt{10} - 9|a|\sqrt{10}\)
\(= (4 + 4 - 9)|a|\sqrt{10}\)
\(= -|a|\sqrt{10}\)
Ответ: \(-|a|\sqrt{10}\)
в) \(\sqrt{98} - \sqrt{42} + 0,5\sqrt{8}\)
Решение:
\(\sqrt{98} - \sqrt{42} + 0,5\sqrt{8} = \sqrt{49 \cdot 2} - \sqrt{42} + 0,5\sqrt{4 \cdot 2}\)
\(= 7\sqrt{2} - \sqrt{42} + 0,5 \cdot 2\sqrt{2}\)
\(= 7\sqrt{2} - \sqrt{42} + \sqrt{2}\)
\(= (7 + 1)\sqrt{2} - \sqrt{42}\)
\(= 8\sqrt{2} - \sqrt{42}\)
Ответ: \(8\sqrt{2} - \sqrt{42}\)
г) \((2 + \sqrt{15})(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2\)
Решение:
\((2 + \sqrt{15})(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (2 + \sqrt{15})((\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2)\)
\(= (2 + \sqrt{15})(3 + 2\sqrt{15} + 5)\)
\(= (2 + \sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15})\)
\(= 2 \cdot 8 + 2 \cdot 2\sqrt{15} + \sqrt{15} \cdot 8 + \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{15}\)
\(= 16 + 4\sqrt{15} + 8\sqrt{15} + 2 \cdot 15\)
\(= 16 + 12\sqrt{15} + 30\)
\(= 46 + 12\sqrt{15}\)
Ответ: \(46 + 12\sqrt{15}\)
2. Преобразовать выражение:
а) \(\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001}\)
Решение:
\(\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = \sqrt{1,21} \cdot \sqrt{0,09} \cdot \sqrt{0,0001}\)
\(= 1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01\)
\(= 0,33 \cdot 0,01\)
\(= 0,0033\)
Ответ: \(0,0033\)
б) \((\sqrt{x} + \sqrt{y})(2\sqrt{x} - \sqrt{y})\)
Решение:
\((\sqrt{x} + \sqrt{y})(2\sqrt{x} - \sqrt{y}) = \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - \sqrt{x}\sqrt{y} + \sqrt{y} \cdot 2\sqrt{x} - \sqrt{y}\sqrt{y}\)
\(= 2x - \sqrt{xy} + 2\sqrt{xy} - y\)
\(= 2x + \sqrt{xy} - y\)
Ответ: \(2x + \sqrt{xy} - y\)
в) \(\sqrt{0,16} + (2\sqrt{0,1})^2\)
Решение:
\(\sqrt{0,16} + (2\sqrt{0,1})^2 = 0,4 + 2^2 \cdot (\sqrt{0,1})^2\)
\(= 0,4 + 4 \cdot 0,1\)
\(= 0,4 + 0,4\)
\(= 0,8\)
Ответ: \(0,8\)
г) \((-3\sqrt{6})^2 - 3 \cdot (\sqrt{6})^2\)
Решение:
\((-3\sqrt{6})^2 - 3 \cdot (\sqrt{6})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 3 \cdot 6\)
\(= 9 \cdot 6 - 18\)
\(= 54 - 18\)
\(= 36\)
Ответ: \(36\)
3. Сократить дробь:
а) \(\frac{1 + \sqrt{a}}{1 - a}\)
Решение:
\(\frac{1 + \sqrt{a}}{1 - a} = \frac{1 + \sqrt{a}}{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}\)
\(= \frac{1}{1 - \sqrt{a}}\)
Ответ: \(\frac{1}{1 - \sqrt{a}}\)
б) \(\frac{y + b\sqrt{y}}{\sqrt{y} + b}\)
Решение:
\(\frac{y + b\sqrt{y}}{\sqrt{y} + b} = \frac{\sqrt{y}(\sqrt{y} + b)}{\sqrt{y} + b}\)
\(= \sqrt{y}\)
Ответ: \(\sqrt{y}\)
4. Освободиться от иррациональности:
\(\frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\)
Решение:
Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\(\frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{(2 - 3\sqrt{2})\sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\)
\(= \frac{2\sqrt{2} - 3(\sqrt{2})^2}{4 \cdot 2}\)
\(= \frac{2\sqrt{2} - 3 \cdot 2}{8}\)
\(= \frac{2\sqrt{2} - 6}{8}\)
Разделим числитель и знаменатель на 2:
\(= \frac{\sqrt{2} - 3}{4}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{2} - 3}{4}\)
5. Найти значение выражения:
\(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\)
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})\). Это формула разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
\((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2\)
Теперь приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}\)
\(= \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{2} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2}\)
Раскроем квадраты в числителях по формуле \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\):
\((\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}\)
\((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}\)
Подставим эти выражения обратно:
\(= \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} + \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}\)
\(= \frac{8 - 2\sqrt{15} + 8 + 2\sqrt{15}}{2}\)
\(= \frac{16}{2}\)
\(= 8\)
Ответ: \(8\)