Задача
Две стороны треугольника равны 6 см и 16 см, а синус острого угла между ними равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найдите третью сторону треугольника.
Решение:
Пусть даны две стороны треугольника \(a = 6\) см и \(b = 16\) см. Угол между ними обозначим как \(\gamma\). Нам дан синус этого угла: \(\sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Поскольку угол \(\gamma\) острый, мы можем найти его значение. Известно, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит, \(\gamma = 60^\circ\).
Для нахождения третьей стороны \(c\) воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\]Сначала найдем \(\cos \gamma\). Для острого угла \(\gamma\), \(\cos \gamma\) можно найти из основного тригонометрического тождества:
\[\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1\] \[\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma\] \[\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\] \[\cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4}\] \[\cos^2 \gamma = \frac{1}{4}\]Так как \(\gamma\) — острый угол, \(\cos \gamma > 0\). Поэтому:
\[\cos \gamma = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]Теперь подставим известные значения в формулу теоремы косинусов:
\[c^2 = 6^2 + 16^2 - 2 \cdot 6 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}\] \[c^2 = 36 + 256 - 2 \cdot 6 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2}\] \[c^2 = 36 + 256 - 6 \cdot 16\] \[c^2 = 292 - 96\] \[c^2 = 196\]Чтобы найти \(c\), извлечем квадратный корень из 196:
\[c = \sqrt{196}\] \[c = 14\]Таким образом, третья сторона треугольника равна 14 см.
Ответ: 14.