5 Вариант
1. Представьте в виде корня из числа:
а) \(13^{\frac{2}{3}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(13^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{13^2} = \sqrt[3]{169}\).
Ответ: \(\sqrt[3]{169}\).
б) \(2^{\frac{4}{9}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(2^{\frac{4}{9}} = \sqrt[9]{2^4} = \sqrt[9]{16}\).
Ответ: \(\sqrt[9]{16}\).
в) \(342^{\frac{5}{6}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(342^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{342^5}\).
Ответ: \(\sqrt[6]{342^5}\).
г) \(4^{-\frac{2}{7}}\)
Решение:
Сначала используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\(4^{-\frac{2}{7}} = \frac{1}{4^{\frac{2}{7}}}\).
Затем используем определение степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(\frac{1}{4^{\frac{2}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{4^2}} = \frac{1}{\sqrt[7]{16}}\).
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[7]{16}}\).
д) \(2^{1,25}\)
Решение:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: \(1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\).
Значит, \(2^{1,25} = 2^{\frac{5}{4}}\).
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(2^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{2^5} = \sqrt[4]{32}\).
Ответ: \(\sqrt[4]{32}\).
е) \(3^{-0,4}\)
Решение:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: \(0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).
Значит, \(3^{-0,4} = 3^{-\frac{2}{5}}\).
Сначала используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\(3^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{5}}}\).
Затем используем определение степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(\frac{1}{3^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{9}}\).
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[5]{9}}\).
2. Представьте в виде степени с рациональным показателем:
а) \(\sqrt[5]{2^2}\)
Решение:
По определению корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).
Значит, \(\sqrt[5]{2^2} = 2^{\frac{2}{5}}\).
Ответ: \(2^{\frac{2}{5}}\).
б) \(\sqrt[7]{8^5}\)
Решение:
По определению корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).
Значит, \(\sqrt[7]{8^5} = 8^{\frac{5}{7}}\).
Ответ: \(8^{\frac{5}{7}}\).
в) \(\sqrt[11]{5^2}\)
Решение:
По определению корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).
Значит, \(\sqrt[11]{5^2} = 5^{\frac{2}{11}}\).
Ответ: \(5^{\frac{2}{11}}\).
г) \(\sqrt{3}\)
Решение:
Квадратный корень можно записать как корень второй степени, а число под корнем в первой степени: \(\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1}\).
По определению корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).
Значит, \(\sqrt[2]{3^1} = 3^{\frac{1}{2}}\).
Ответ: \(3^{\frac{1}{2}}\).
3. Решите уравнения:
а) \(2^x = 4\)
Решение:
Представим правую часть уравнения как степень с основанием 2: \(4 = 2^2\).
Тогда уравнение примет вид: \(2^x = 2^2\).
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны.
\(x = 2\).
Ответ: \(x = 2\).
б) \(10^x = 100\)
Решение:
Представим правую часть уравнения как степень с основанием 10: \(100 = 10^2\).
Тогда уравнение примет вид: \(10^x = 10^2\).
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны.
\(x = 2\).
Ответ: \(x = 2\).
в) \(8^x = \frac{1}{64}\)
Решение:
Представим правую часть уравнения как степень с основанием 8.
Сначала заметим, что \(64 = 8^2\).
Тогда \(\frac{1}{64} = \frac{1}{8^2}\).
Используем свойство \( \frac{1}{a^n} = a^{-n} \).
Значит, \(\frac{1}{8^2} = 8^{-2}\).
Уравнение примет вид: \(8^x = 8^{-2}\).
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны.
\(x = -2\).
Ответ: \(x = -2\).
г) \(5^{x+3} = 25\)
Решение:
Представим правую часть уравнения как степень с основанием 5: \(25 = 5^2\).
Тогда уравнение примет вид: \(5^{x+3} = 5^2\).
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны.
\(x+3 = 2\).
Решим линейное уравнение:
\(x = 2 - 3\).
\(x = -1\).
Ответ: \(x = -1\).
д) \(4^{2x} = 4^3 \cdot 4^5\)
Решение:
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
Правая часть уравнения: \(4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8\).
Тогда уравнение примет вид: \(4^{2x} = 4^8\).
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны.
\(2x = 8\).
Решим линейное уравнение:
\(x = \frac{8}{2}\).
\(x = 4\).
Ответ: \(x = 4\).
4. Вычислите:
а) \(34^0\)
Решение:
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
\(34^0 = 1\).
Ответ: \(1\).
б) \(25^{\frac{1}{2}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(25^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{25^1} = \sqrt{25}\).
\(\sqrt{25} = 5\).
Ответ: \(5\).
в) \(8^{\frac{2}{7}} \cdot 8^{\frac{5}{7}}\)
Решение:
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\(8^{\frac{2}{7}} \cdot 8^{\frac{5}{7}} = 8^{\frac{2}{7} + \frac{5}{7}}\).
Сложим показатели степени: \(\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{2+5}{7} = \frac{7}{7} = 1\).
Значит, \(8^{\frac{2}{7}} \cdot 8^{\frac{5}{7}} = 8^1 = 8\).
Ответ: \(8\).
г) \(4^{\frac{2}{3}} \cdot 16^{\frac{2}{3}}\)
Решение:
Используем свойство умножения степеней с одинаковым показателем: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\).
\(4^{\frac{2}{3}} \cdot 16^{\frac{2}{3}} = (4 \cdot 16)^{\frac{2}{3}}\).
Вычислим произведение в скобках: \(4 \cdot 16 = 64\).
Значит, \((4 \cdot 16)^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}\).
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(64^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64^2}\).
Можно также представить \(64\) как \(4^3\):
\(64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}}\).
Используем свойство \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\((4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^2\).
\(4^2 = 16\).
Ответ: \(16\).
5. Решите уравнение:
\(9^{x^2-2x-15} = 1\)
Решение:
Мы знаем, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
Значит, \(1\) можно представить как \(9^0\).
Уравнение примет вид: \(9^{x^2-2x-15} = 9^0\).
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны.
\(x^2 - 2x - 15 = 0\).
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения: \(ax^2 + bx + c = 0\).
В нашем случае: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-15\).
Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\).
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)\).
\(D = 4 - (-60)\).
\(D = 4 + 60\).
\(D = 64\).
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Формула корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1}\).
\(x_1 = \frac{2 + 8}{2}\).
\(x_1 = \frac{10}{2}\).
\(x_1 = 5\).
\(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1}\).
\(x_2 = \frac{2 - 8}{2}\).
\(x_2 = \frac{-6}{2}\).
\(x_2 = -3\).
Ответ: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -3\).