Решение задачи: Закон Кулона, Вариант 3

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант 3 1. Заряды \(q_1 = 6 \cdot 10^{-7}\) Кл и \(q_2 = 8 \cdot 10^{-7}\) Кл находятся на расстоянии \(r = 0,2\) м. Определите силу их взаимодействия. Дано: \(q_1 = 6 \cdot 10^{-7}\) Кл \(q_2 = 8 \cdot 10^{-7}\) Кл \(r = 0,2\) м \(k = 9 \cdot 10^9\) Н \(\cdot\) м\(^2\) / Кл\(^2\) (электрическая постоянная) Найти: \(F\) Решение: Для определения силы взаимодействия между двумя точечными зарядами используем закон Кулона: \[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\] Подставим известные значения в формулу: \[F = 9 \cdot 10^9 \frac{|(6 \cdot 10^{-7}) \cdot (8 \cdot 10^{-7})|}{(0,2)^2}\] \[F = 9 \cdot 10^9 \frac{48 \cdot 10^{-14}}{0,04}\] \[F = 9 \cdot 10^9 \cdot 1200 \cdot 10^{-14}\] \[F = 10800 \cdot 10^{-5}\] \[F = 0,108\] Н Ответ: Сила взаимодействия зарядов равна \(0,108\) Н. 2. Два заряда \(q_1 = 2 \cdot 10^{-8}\) Кл и \(q_2 = -3 \cdot 10^{-8}\) Кл взаимодействуют с силой \(F = 0,027\) Н. Найдите расстояние \(r\) между ними. Дано: \(q_1 = 2 \cdot 10^{-8}\) Кл \(q_2 = -3 \cdot 10^{-8}\) Кл \(F = 0,027\) Н \(k = 9 \cdot 10^9\) Н \(\cdot\) м\(^2\) / Кл\(^2\) Найти: \(r\) Решение: Используем закон Кулона: \[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\] Выразим из этой формулы расстояние \(r\): \[r^2 = k \frac{|q_1 q_2|}{F}\] \[r = \sqrt{k \frac{|q_1 q_2|}{F}}\] Подставим известные значения: \[r = \sqrt{9 \cdot 10^9 \frac{|(2 \cdot 10^{-8}) \cdot (-3 \cdot 10^{-8})|}{0,027}}\] \[r = \sqrt{9 \cdot 10^9 \frac{6 \cdot 10^{-16}}{0,027}}\] \[r = \sqrt{\frac{54 \cdot 10^{-7}}{0,027}}\] \[r = \sqrt{2000 \cdot 10^{-7}}\] \[r = \sqrt{2 \cdot 10^{-4}}\] \[r = \sqrt{2} \cdot 10^{-2}\] \[r \approx 1,414 \cdot 10^{-2}\] м \[r \approx 0,01414\] м Ответ: Расстояние между зарядами примерно \(0,014\) м. 3. Два одинаковых заряда отталкиваются с силой \(F = 0,04\) Н на расстоянии \(r = 0,2\) м. Чему равен каждый заряд \(q\)? Дано: \(F = 0,04\) Н \(r = 0,2\) м \(q_1 = q_2 = q\) \(k = 9 \cdot 10^9\) Н \(\cdot\) м\(^2\) / Кл\(^2\) Найти: \(q\) Решение: Используем закон Кулона: \[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\] Так как \(q_1 = q_2 = q\), то: \[F = k \frac{q^2}{r^2}\] Выразим \(q^2\): \[q^2 = \frac{F \cdot r^2}{k}\] Теперь найдем \(q\): \[q = \sqrt{\frac{F \cdot r^2}{k}}\] Подставим известные значения: \[q = \sqrt{\frac{0,04 \cdot (0,2)^2}{9 \cdot 10^9}}\] \[q = \sqrt{\frac{0,04 \cdot 0,04}{9 \cdot 10^9}}\] \[q = \sqrt{\frac{0,0016}{9 \cdot 10^9}}\] \[q = \sqrt{\frac{1,6 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9}}\] \[q = \sqrt{\frac{1,6}{9} \cdot 10^{-12}}\] \[q = \frac{\sqrt{1,6}}{3} \cdot 10^{-6}\] \[q \approx \frac{1,265}{3} \cdot 10^{-6}\] \[q \approx 0,4217 \cdot 10^{-6}\] Кл \[q \approx 4,2 \cdot 10^{-7}\] Кл Ответ: Каждый заряд равен примерно \(4,2 \cdot 10^{-7}\) Кл. 4. Заряды \(q_1 = 3 \cdot 10^{-6}\) Кл и \(q_2 = 4 \cdot 10^{-6}\) Кл находятся на расстоянии \(r = 0,3\) м. Как изменится сила, если расстояние увеличить до \(0,6\) м? Дано: \(q_1 = 3 \cdot 10^{-6}\) Кл \(q_2 = 4 \cdot 10^{-6}\) Кл Начальное расстояние \(r_1 = 0,3\) м Конечное расстояние \(r_2 = 0,6\) м \(k = 9 \cdot 10^9\) Н \(\cdot\) м\(^2\) / Кл\(^2\) Найти: Как изменится сила (отношение \(F_2 / F_1\)) Решение: Сначала найдем начальную силу \(F_1\): \[F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}\] \[F_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{|(3 \cdot 10^{-6}) \cdot (4 \cdot 10^{-6})|}{(0,3)^2}\] \[F_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{12 \cdot 10^{-12}}{0,09}\] \[F_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot 133,33 \cdot 10^{-12}\] \[F_1 = 1200 \cdot 10^{-3}\] \[F_1 = 1,2\] Н Теперь найдем конечную силу \(F_2\) при расстоянии \(r_2 = 0,6\) м: \[F_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2}\] \[F_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{|(3 \cdot 10^{-6}) \cdot (4 \cdot 10^{-6})|}{(0,6)^2}\] \[F_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{12 \cdot 10^{-12}}{0,36}\] \[F_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot 33,33 \cdot 10^{-12}\] \[F_2 = 300 \cdot 10^{-3}\] \[F_2 = 0,3\] Н Чтобы узнать, как изменилась сила, найдем отношение \(F_2 / F_1\): \[\frac{F_2}{F_1} = \frac{0,3}{1,2} = \frac{1}{4}\] Сила уменьшилась в 4 раза. Альтернативный способ (без вычисления конкретных значений сил): Мы знаем, что \(F \sim \frac{1}{r^2}\). Тогда отношение сил будет: \[\frac{F_2}{F_1} = \frac{k \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2}}{k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\] Подставим значения: \[\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{0,3}{0,6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\] Значит, сила уменьшится в 4 раза. Ответ: Сила уменьшится в 4 раза. 5. Три заряда: \(q_1 = 2 \cdot 10^{-6}\) Кл, \(q_2 = 2 \cdot 10^{-6}\) Кл, \(q_3 = -2 \cdot 10^{-6}\) Кл — расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной \(a = 0,15\) м. Найдите силу, действующую на \(q_3\) со стороны \(q_1\) и \(q_2\). Дано: \(q_1 = 2 \cdot 10^{-6}\) Кл \(q_2 = 2 \cdot 10^{-6}\) Кл \(q_3 = -2 \cdot 10^{-6}\) Кл Сторона треугольника \(a = 0,15\) м \(k = 9 \cdot 10^9\) Н \(\cdot\) м\(^2\) / Кл\(^2\) Найти: Результирующая сила \(F_{рез}\) на заряд \(q_3\). Решение: Расположим заряды в вершинах равностороннего треугольника. Пусть \(q_1\) находится в левой нижней вершине, \(q_2\) в правой нижней, а \(q_3\) в верхней. Расстояние между любыми двумя зарядами равно \(a = 0,15\) м. Сначала найдем силу \(F_{13}\), действующую на \(q_3\) со стороны \(q_1\): \[F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{a^2}\] \[F_{13} = 9 \cdot 10^9 \frac{|(2 \cdot 10^{-6}) \cdot (-2 \cdot 10^{-6})|}{(0,15)^2}\] \[F_{13} = 9 \cdot 10^9 \frac{4 \cdot 10^{-12}}{0,0225}\] \[F_{13} = 9 \cdot 10^9 \cdot 177,78 \cdot 10^{-12}\] \[F_{13} = 1600 \cdot 10^{-3}\] \[F_{13} = 1,6\] Н Так как \(q_1\) положительный, а \(q_3\) отрицательный, сила \(F_{13}\) будет силой притяжения, направленной от \(q_3\) к \(q_1\). Теперь найдем силу \(F_{23}\), действующую на \(q_3\) со стороны \(q_2\): \[F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{a^2}\] \[F_{23} = 9 \cdot 10^9 \frac{|(2 \cdot 10^{-6}) \cdot (-2 \cdot 10^{-6})|}{(0,15)^2}\] \[F_{23} = 1,6\] Н (поскольку заряды и расстояние такие же, как для \(F_{13}\)) Так как \(q_2\) положительный, а \(q_3\) отрицательный, сила \(F_{23}\) будет силой притяжения, направленной от \(q_3\) к \(q_2\). Угол между сторонами равностороннего треугольника равен \(60^\circ\). Если мы поместим \(q_3\) в вершину, то силы \(F_{13}\) и \(F_{23}\) будут направлены под углом друг к другу. Угол между векторами \(F_{13}\) и \(F_{23}\) будет равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). (Представьте, что \(q_3\) находится в начале координат, \(q_1\) на оси X, тогда \(q_2\) будет под углом \(60^\circ\). Сила \(F_{13}\) направлена к \(q_1\), а \(F_{23}\) к \(q_2\). Угол между этими векторами будет \(60^\circ\). Если же \(q_3\) в верхней вершине, а \(q_1\) и \(q_2\) в нижних, то угол между векторами сил, направленных к \(q_1\) и \(q_2\), будет \(60^\circ\)). Давайте уточним направление. Пусть \(q_3\) находится в точке \((0, a \sqrt{3}/2)\). \(q_1\) в \((-a/2, 0)\) и \(q_2\) в \((a/2, 0)\). Вектор \(F_{13}\) направлен от \(q_3\) к \(q_1\). Угол этого вектора с отрицательной осью X будет \(30^\circ\). Вектор \(F_{23}\) направлен от \(q_3\) к \(q_2\). Угол этого вектора с положительной осью X будет \(30^\circ\). Угол между векторами \(F_{13}\) и \(F_{23}\) будет \(60^\circ\). Для нахождения результирующей силы \(F_{рез}\) используем теорему косинусов для сложения векторов: \[F_{рез}^2 = F_{13}^2 + F_{23}^2 + 2 F_{13} F_{23} \cos \alpha\] где \(\alpha\) - угол между векторами \(F_{13}\) и \(F_{23}\). В нашем случае \(\alpha = 60^\circ\). Так как \(F_{13} = F_{23} = F = 1,6\) Н: \[F_{рез}^2 = F^2 + F^2 + 2 F \cdot F \cos 60^\circ\] \[F_{рез}^2 = 2F^2 + 2F^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[F_{рез}^2 = 2F^2 + F^2\] \[F_{рез}^2 = 3F^2\] \[F_{рез} = \sqrt{3} F\] Подставим значение \(F = 1,6\) Н: \[F_{рез} = \sqrt{3} \cdot 1,6\] \[F_{рез} \approx 1,732 \cdot 1,6\] \[F_{рез} \approx 2,7712\] Н Ответ: Результирующая сила, действующая на заряд \(q_3\), составляет примерно \(2,77\) Н.