5 Вариант
1. Представьте в виде корня из числа:
а) \(13^{\frac{2}{3}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(13^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{13^2} = \sqrt[3]{169}\).
Ответ: \(\sqrt[3]{169}\).
б) \(2^{\frac{4}{9}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(2^{\frac{4}{9}} = \sqrt[9]{2^4} = \sqrt[9]{16}\).
Ответ: \(\sqrt[9]{16}\).
в) \(342^{\frac{5}{6}}\)
Решение:
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Значит, \(342^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{342^5}\).
Ответ: \(\sqrt[6]{342^5}\).
г) \(4^{-\frac{2}{7}}\)
Решение:
Сначала используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\(4^{-\frac{2}{7}} = \frac{1}{4^{\frac{2}{7}}}\).
Затем используем определение степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(\frac{1}{4^{\frac{2}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{4^2}} = \frac{1}{\sqrt[7]{16}}\).
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[7]{16}}\).
д) \(2^{1,25}\)
Решение:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: \(1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}\).
Значит, \(2^{1,25} = 2^{\frac{5}{4}}\).
По определению степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(2^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{2^5} = \sqrt[4]{32}\).
Ответ: \(\sqrt[4]{32}\).
е) \(3^{-0,4}\)
Решение:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: \(0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).
Значит, \(3^{-0,4} = 3^{-\frac{2}{5}}\).
Сначала используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\(3^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{5}}}\).
Затем используем определение степени с рациональным показателем \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
\(\frac{1}{3^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[5]{9}}\).
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[5]{9}}\).