Задача:
Смешанное произведение векторов \(\vec{a} = \{3; 1; -1\}\), \(\vec{b} = \{4; 2; 0\}\) и \(\vec{c} = \{1; 0; 0\}\) равно...
Решение:
Смешанное произведение трех векторов \(\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}\), \(\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}\) и \(\vec{c} = \{x_3; y_3; z_3\}\) вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} \]В нашем случае даны векторы:
\[ \vec{a} = \{3; 1; -1\} \] \[ \vec{b} = \{4; 2; 0\} \] \[ \vec{c} = \{1; 0; 0\} \]Подставим координаты векторов в определитель:
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]Вычислим определитель. Удобнее всего разложить его по третьей строке, так как в ней много нулей:
\[ \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \]Упрощаем выражение:
\[ = 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + 0 + 0 \] \[ = 1 \cdot (0 + 2) \] \[ = 1 \cdot 2 \] \[ = 2 \]Таким образом, смешанное произведение векторов равно 2.
Ответ:
2