Решение задачи: Найти угол BAC в треугольнике ABC

Решение задачи: Задача: В треугольнике \(ABC\) известны стороны \(AB = 4\sqrt{3}\), \(AC = 5\), \(BC = \sqrt{13}\). Найдите угол \(\angle BAC\). Ответ приведите в градусах. Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае, мы ищем угол \(\angle BAC\), который лежит напротив стороны \(BC\). Значит, теорема косинусов будет выглядеть так: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\] Теперь подставим известные значения сторон в формулу: \[(\sqrt{13})^2 = (4\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 5 \cdot \cos(\angle BAC)\] Вычислим квадраты сторон: \[13 = (16 \cdot 3) + 25 - 2 \cdot 20\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\] \[13 = 48 + 25 - 40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\] \[13 = 73 - 40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\] Теперь выразим \(40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\): \[40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC) = 73 - 13\] \[40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC) = 60\] Найдем \(\cos(\angle BAC)\): \[\cos(\angle BAC) = \frac{60}{40\sqrt{3}}\] Сократим дробь: \[\cos(\angle BAC) = \frac{3}{2\sqrt{3}}\] Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[\cos(\angle BAC) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}\] \[\cos(\angle BAC) = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}\] \[\cos(\angle BAC) = \frac{3\sqrt{3}}{6}\] \[\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Теперь нам нужно найти угол, косинус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\angle BAC = 30^\circ\). Ответ: 30