Угол BAC в треугольнике ABC можно найти с помощью теоремы косинусов, зная длины всех трех сторон. Подробное решение и формула для расчета приведены ниже.
check_circle
Подробное решение
Отлично! Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь.
***
Задача
В треугольнике \(ABC\) известны стороны \(AB = 4\sqrt{3}\), \(AC = 5\), \(BC = \sqrt{13}\). Найдите угол \(\angle BAC\). Ответ приведите в градусах.
Решение
Для того чтобы найти угол треугольника, зная длины всех трёх его сторон, мы можем использовать теорему косинусов.
Теорема косинусов гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В нашем случае, мы ищем угол \(\angle BAC\). Этот угол лежит напротив стороны \(BC\).
Поэтому теорема косинусов для стороны \(BC\) будет выглядеть так:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\]
Теперь подставим в эту формулу известные нам длины сторон:
\[(\sqrt{13})^2 = (4\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 5 \cdot \cos(\angle BAC)\]
Вычислим квадраты и произведения:
\[13 = (16 \cdot 3) + 25 - 2 \cdot (20\sqrt{3}) \cdot \cos(\angle BAC)\]
\[13 = 48 + 25 - 40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\]
\[13 = 73 - 40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC)\]
Теперь нам нужно выразить \(\cos(\angle BAC)\). Для этого перенесём слагаемые:
\[40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC) = 73 - 13\]
\[40\sqrt{3} \cdot \cos(\angle BAC) = 60\]
Теперь найдём значение \(\cos(\angle BAC)\):
\[\cos(\angle BAC) = \frac{60}{40\sqrt{3}}\]
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 20:
\[\cos(\angle BAC) = \frac{3}{2\sqrt{3}}\]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\[\cos(\angle BAC) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{3\sqrt{3}}{6}\]
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
\[\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Теперь нам нужно определить, какой угол имеет косинус, равный \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Значит, угол \(\angle BAC\) равен \(30^\circ\).
