Находим гипотенузу по теореме Пифагора, затем вычисляем синус и косинус внутреннего угла, используя известные стороны треугольника. Внешний угол является смежным с внутренним.
check_circle
Подробное решение
Отлично! Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь.
***
Решение задачи: Синус и косинус внешнего угла
Нам дан прямоугольный треугольник \(ABC\).
Угол \(A\) является прямым углом (\(90^\circ\)).
Длины катетов: \(AC = 9\) и \(AB = 12\).
Угол \(\gamma\) – это внешний угол при вершине \(C\).
Шаг 1: Найдем длину гипотенузы \(BC\).
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
\[BC^2 = AC^2 + AB^2\]
Подставим известные значения:
\[BC^2 = 9^2 + 12^2\]
\[BC^2 = 81 + 144\]
\[BC^2 = 225\]
Чтобы найти \(BC\), извлечем квадратный корень из 225:
\[BC = \sqrt{225}\]
\[BC = 15\]
Итак, длина гипотенузы \(BC\) равна 15.
Шаг 2: Найдем синус и косинус внутреннего угла \(\angle C\).
Внутренний угол при вершине \(C\) обозначим как \(\angle C\).
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла \(\angle C\) противолежащий катет – это \(AB\).
\[\sin(\angle C) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{BC}\]
\[\sin(\angle C) = \frac{12}{15}\]
Сократим дробь на 3:
\[\sin(\angle C) = \frac{4}{5} = 0.8\]
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла \(\angle C\) прилежащий катет – это \(AC\).
\[\cos(\angle C) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{BC}\]
\[\cos(\angle C) = \frac{9}{15}\]
Сократим дробь на 3:
\[\cos(\angle C) = \frac{3}{5} = 0.6\]
Шаг 3: Найдем \(\sin \gamma\) и \(\cos \gamma\).
Угол \(\gamma\) и внутренний угол \(\angle C\) являются смежными углами. Это означает, что их сумма равна \(180^\circ\).
\[\gamma + \angle C = 180^\circ\]
Отсюда следует, что \(\gamma = 180^\circ - \angle C\).
Теперь используем формулы приведения для синуса и косинуса:
1. \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\)
2. \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\)
Применим эти формулы к нашему углу \(\gamma\):
Для \(\sin \gamma\):
\[\sin \gamma = \sin(180^\circ - \angle C) = \sin(\angle C)\]
Мы уже нашли \(\sin(\angle C) = 0.8\).
Значит, \(\sin \gamma = 0.8\).
Для \(\cos \gamma\):
\[\cos \gamma = \cos(180^\circ - \angle C) = -\cos(\angle C)\]
Мы уже нашли \(\cos(\angle C) = 0.6\).
Значит, \(\cos \gamma = -0.6\).
Ответы:
По данным чертежа найдите \(\sin \gamma\).
\[\sin \gamma = 0.8\]
По данным чертежа найдите \(\cos \gamma\).
\[\cos \gamma = -0.6\]
***
