Задача:
Площадь тупоугольного равнобедренного треугольника равна 64. Известно, что боковая сторона равна 16.
Найдите угол при вершине этого треугольника.
Найдите угол при основании этого треугольника.
Решение:
Пусть данный равнобедренный треугольник будет \(ABC\), где \(AB = BC = 16\) — боковые стороны, а \(AC\) — основание. Угол при вершине — это угол \(B\). Углы при основании — это углы \(A\) и \(C\).
Площадь треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]где \(a\) и \(b\) — длины двух сторон, а \(\gamma\) — угол между этими сторонами.
В нашем случае, мы знаем две боковые стороны \(AB = BC = 16\) и площадь \(S = 64\). Угол между этими сторонами — это угол при вершине \(B\).
Подставим известные значения в формулу площади:
\[64 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \sin(B)\]Упростим выражение:
\[64 = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot \sin(B)\] \[64 = 128 \cdot \sin(B)\]Теперь найдем \(\sin(B)\):
\[\sin(B) = \frac{64}{128}\] \[\sin(B) = \frac{1}{2}\]Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}\).
Поскольку треугольник тупоугольный, угол при вершине \(B\) должен быть тупым, то есть больше \(90^\circ\).
Следовательно, угол при вершине \(B = 150^\circ\).
Ответ на первый вопрос: Угол при вершине этого треугольника равен 150.
Теперь найдем углы при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
Пусть углы при основании будут \(\alpha\). Тогда:
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\] \[\alpha + 150^\circ + \alpha = 180^\circ\] \[2\alpha + 150^\circ = 180^\circ\]Вычтем \(150^\circ\) из обеих частей уравнения:
\[2\alpha = 180^\circ - 150^\circ\] \[2\alpha = 30^\circ\]Разделим на 2, чтобы найти \(\alpha\):
\[\alpha = \frac{30^\circ}{2}\] \[\alpha = 15^\circ\]Таким образом, каждый угол при основании равен \(15^\circ\).
Ответ на второй вопрос: Угол при основании этого треугольника равен 15.