Задача:
Точка \(B\) имеет координаты \((3; 3\sqrt{3})\).
Найдите угол между лучом \(OB\) и положительной полуосью \(Ox\).
Найдите угол между лучом \(OB\) и положительной полуосью \(Oy\).
Решение:
Пусть точка \(B\) имеет координаты \((x; y)\), где \(x = 3\) и \(y = 3\sqrt{3}\).
Луч \(OB\) начинается в начале координат \(O(0;0)\) и проходит через точку \(B(3; 3\sqrt{3})\).
1. Найдем угол между лучом \(OB\) и положительной полуосью \(Ox\).
Этот угол обычно обозначается как \(\alpha\). Для нахождения угла \(\alpha\) можно использовать тангенс угла, который равен отношению координаты \(y\) к координате \(x\):
\[\tan(\alpha) = \frac{y}{x}\]Подставим значения \(x = 3\) и \(y = 3\sqrt{3}\):
\[\tan(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{3}\] \[\tan(\alpha) = \sqrt{3}\]Мы знаем, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\).
Следовательно, угол \(\alpha = 60^\circ\).
Ответ на первый вопрос: Угол между лучом \(OB\) и положительной полуосью \(Ox\) равен 60.
2. Найдем угол между лучом \(OB\) и положительной полуосью \(Oy\).
Этот угол обозначен как \(\beta\) на рисунке. Положительная полуось \(Ox\) и положительная полуось \(Oy\) перпендикулярны друг другу, то есть угол между ними составляет \(90^\circ\).
Угол \(\beta\) и угол \(\alpha\) в сумме дают \(90^\circ\), так как они образуют прямой угол с осью \(Oy\).
\[\alpha + \beta = 90^\circ\]Мы уже нашли \(\alpha = 60^\circ\). Подставим это значение:
\[60^\circ + \beta = 90^\circ\]Вычтем \(60^\circ\) из обеих частей уравнения:
\[\beta = 90^\circ - 60^\circ\] \[\beta = 30^\circ\]Ответ на второй вопрос: Угол между лучом \(OB\) и положительной полуосью \(Oy\) равен 30.