Задача:
Точка \(F\) лежит на стороне \(AB\) треугольника \(ABC\). Известно, что \(BC = 6\), \(AC = 4\), \(BF = 4\), \(AF = 1\).
Найдите \(\cos \angle A\).
Найдите \(CF\).
Решение:
Сначала найдем длину стороны \(AB\). Так как точка \(F\) лежит на стороне \(AB\), то \(AB = AF + FB\).
Подставим известные значения:
\[AB = 1 + 4\] \[AB = 5\]1. Найдем \(\cos \angle A\).
Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \(ABC\).
Теорема косинусов гласит: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\), где \(a\) — сторона, противолежащая углу \(A\), а \(b\) и \(c\) — прилежащие стороны.
В треугольнике \(ABC\):
- Сторона, противолежащая углу \(A\), это \(BC = 6\).
- Прилежащие стороны — это \(AB = 5\) и \(AC = 4\).
Подставим эти значения в формулу:
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)\] \[6^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(\angle A)\] \[36 = 25 + 16 - 40 \cdot \cos(\angle A)\] \[36 = 41 - 40 \cdot \cos(\angle A)\]Перенесем 41 в левую часть уравнения:
\[36 - 41 = -40 \cdot \cos(\angle A)\] \[-5 = -40 \cdot \cos(\angle A)\]Разделим обе части на \(-40\):
\[\cos(\angle A) = \frac{-5}{-40}\] \[\cos(\angle A) = \frac{1}{8}\] \[\cos(\angle A) = 0.125\]Ответ на первый вопрос: \(\cos \angle A = 0.125\).
2. Найдем \(CF\).
Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \(AFC\).
В треугольнике \(AFC\):
- Сторона, которую мы ищем, это \(CF\).
- Прилежащие стороны к углу \(A\) — это \(AF = 1\) и \(AC = 4\).
- Угол между ними — это \(\angle A\), косинус которого мы уже нашли: \(\cos(\angle A) = 0.125\).
Применим теорему косинусов:
\[CF^2 = AF^2 + AC^2 - 2 \cdot AF \cdot AC \cdot \cos(\angle A)\] \[CF^2 = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 0.125\] \[CF^2 = 1 + 16 - 8 \cdot 0.125\] \[CF^2 = 17 - 1\] \[CF^2 = 16\]Теперь найдем \(CF\), взяв квадратный корень:
\[CF = \sqrt{16}\] \[CF = 4\]Ответ на второй вопрос: \(CF = 4\).