Задача:
Дан параллелограмм \(ABCD\), в котором диагональ \(AC\) равна \(6\sqrt{2}\), угол между стороной \(BC\) и диагональю \(BD\) равен \(30^\circ\), угол \(\angle BOC\) равен \(135^\circ\). \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\).
Найдите длину стороны \(AD\).
Решение:
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(AO = OC = \frac{1}{2} AC\) и \(BO = OD = \frac{1}{2} BD\).
Дано, что \(AC = 6\sqrt{2}\), поэтому \(OC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
Рассмотрим треугольник \(BOC\).
Известны следующие данные:
- \(\angle BOC = 135^\circ\)
- \(\angle OBC = 30^\circ\) (это угол между стороной \(BC\) и диагональю \(BD\), то есть \(\angle CBD\))
- Сторона \(OC = 3\sqrt{2}\)
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Найдем угол \(\angle BCO\):
\[\angle BCO = 180^\circ - \angle BOC - \angle OBC\] \[\angle BCO = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ\] \[\angle BCO = 180^\circ - 165^\circ\] \[\angle BCO = 15^\circ\]Теперь, зная все углы и одну сторону в треугольнике \(BOC\), мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти сторону \(BC\).
Теорема синусов гласит: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\).
Применим ее к треугольнику \(BOC\):
\[\frac{BC}{\sin(\angle BOC)} = \frac{OC}{\sin(\angle OBC)}\]Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin(135^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)}\]Найдем значения синусов:
\[\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\]Подставим эти значения в уравнение:
\[\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}\]Упростим выражение:
\[BC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \cdot 2\] \[BC \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\]Разделим обе части на \(\sqrt{2}\):
\[BC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\] \[BC = 6\]В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, \(AD = BC\).
Следовательно, \(AD = 6\).
Ответ: Длина стороны \(AD\) равна 6.