Решение задачи: Найти сторону FK в треугольнике

Решение задачи: Дано: Окружность радиуса \(R = 7\). В окружность вписан треугольник \(\triangle MFK\). Сторона \(MK\) совпадает с диаметром окружности. Длина стороны \(MF = 4\sqrt{10}\). Найти: Длину стороны \(FK\). Решение: 1. Определим тип треугольника. Если сторона треугольника, вписанного в окружность, совпадает с диаметром окружности, то этот треугольник является прямоугольным. Угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90 градусам. В нашем случае, сторона \(MK\) - это диаметр. Значит, угол \(\angle F\), который опирается на диаметр \(MK\), равен 90 градусам. Следовательно, \(\triangle MFK\) - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \(F\). 2. Найдем длину диаметра \(MK\). Диаметр \(D\) равен двум радиусам. \[D = 2R\] \[MK = 2 \cdot 7 = 14\] 3. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(\triangle MFK\). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза - это сторона, лежащая напротив прямого угла, то есть \(MK\). Катеты - это стороны \(MF\) и \(FK\). \[MK^2 = MF^2 + FK^2\] 4. Подставим известные значения в теорему Пифагора. \[14^2 = (4\sqrt{10})^2 + FK^2\] 5. Вычислим квадраты. \[14^2 = 196\] \[(4\sqrt{10})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 16 \cdot 10 = 160\] 6. Подставим вычисленные значения обратно в уравнение. \[196 = 160 + FK^2\] 7. Найдем \(FK^2\). \[FK^2 = 196 - 160\] \[FK^2 = 36\] 8. Найдем \(FK\). \[FK = \sqrt{36}\] \[FK = 6\] Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому берем только положительное значение корня. Ответ: Длина стороны \(FK\) равна 6.