Задача:
Мальчик массой \(M = 20\) кг стоит на роликовых коньках. Ему бросают мяч массой \(m = 2\) г с горизонтальной скоростью \(v = 40\) м/с. Определите, с какой скоростью покатится мальчик, когда поймает мяч.
Дано:
- Масса мальчика: \(M = 20\) кг
- Масса мяча: \(m = 2\) г
- Скорость мяча: \(v = 40\) м/с
Найти:
- Скорость мальчика с мячом: \(v'\)
Решение:
Эта задача решается с использованием закона сохранения импульса. Поскольку мальчик стоит на роликовых коньках, мы можем считать, что внешние горизонтальные силы (например, трение) отсутствуют или пренебрежимо малы. В таком случае, полный импульс системы "мальчик + мяч" до взаимодействия равен полному импульсу системы после взаимодействия.
1. Переведем все величины в систему СИ.
Масса мяча \(m = 2\) г. В одном килограмме \(1000\) грамм, поэтому:
\[m = 2 \text{ г} = \frac{2}{1000} \text{ кг} = 0.002 \text{ кг}\]2. Запишем закон сохранения импульса.
До того, как мальчик поймал мяч:
- Импульс мальчика: \(P_M = M \cdot 0 = 0\) (так как мальчик стоит, его начальная скорость равна нулю).
- Импульс мяча: \(P_m = m \cdot v\).
- Полный начальный импульс системы: \(P_{нач} = P_M + P_m = 0 + m \cdot v = m \cdot v\).
После того, как мальчик поймал мяч, они движутся как единое целое с некоторой скоростью \(v'\). Общая масса системы станет \(M + m\).
- Полный конечный импульс системы: \(P_{кон} = (M + m) \cdot v'\).
Согласно закону сохранения импульса:
\[P_{нач} = P_{кон}\] \[m \cdot v = (M + m) \cdot v'\]3. Выразим искомую скорость \(v'\).
\[v' = \frac{m \cdot v}{M + m}\]4. Подставим числовые значения и произведем расчеты.
\[v' = \frac{0.002 \text{ кг} \cdot 40 \text{ м/с}}{20 \text{ кг} + 0.002 \text{ кг}}\] \[v' = \frac{0.08 \text{ кг} \cdot \text{ м/с}}{20.002 \text{ кг}}\] \[v' \approx 0.0039996 \text{ м/с}\]5. Переведем скорость в сантиметры в секунду (см/с), как требуется в задаче.
В одном метре \(100\) сантиметров, поэтому:
\[v' \approx 0.0039996 \text{ м/с} \cdot 100 \text{ см/м}\] \[v' \approx 0.39996 \text{ см/с}\]Округлим до сотых или десятых, если не указана точность. Обычно в таких задачах достаточно округлить до двух-трех значащих цифр. Округлим до десятых:
\[v' \approx 0.4 \text{ см/с}\]Ответ:
Мальчик покатится со скоростью примерно \(0.4\) см/с.
\[v' \approx 0.4 \text{ см/с}\]