Решение задачи по электротехнике: трехфазная цепь со звездой

Отлично, давайте решим эту задачу по электротехнике. Условие задачи: В трехфазную электрическую цепь с симметричным линейным напряжением \(U_л\), включен приемник, соединенный по схеме «звезда», сопротивления и схема соединения фаз которого приведены: Схема соединения Y \(U_л = 220\) В. Сопротивления фаз приемника: \(Z_A = 10\) Ом; \(Z_B = j10\) Ом; \(Z_C = -j20\) Ом. Требуется: * изобразить схему электрической цепи; * рассчитать фазные и линейные токи, для трех заданных режимов работы: а) нормальный режим работы при отсутствии в цепи обрывов и коротких замыканий (для нормального режима работы рассчитать также активную, реактивную, полную мощности источников и приемника, коэффициент мощности приемника, составить баланс мощности); б) обрыв заданной фазы нагрузки (фаза А); в) короткое замыкание заданной фазы (фаза С) (при соединении нагрузки в Y). В случае четырехпроводной цепи режим К.З. рассчитывается при одновременном обрыве нулевого провода; * построить для всех рассчитанных режимов работы топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов. --- Решение: 1. Изобразим схему электрической цепи. Поскольку приемник соединен по схеме «звезда», а источник симметричный, то схема будет выглядеть следующим образом: (Здесь должна быть схема, которую сложно нарисовать текстом. Представьте трехфазный источник (генератор) со звездами, соединенными с фазами A, B, C и нейтралью N. От источника идут четыре провода: фазы A, B, C и нулевой провод N. К этим проводам подключен приемник, также соединенный звездой, с сопротивлениями \(Z_A\), \(Z_B\), \(Z_C\) в каждой фазе и общей точкой (нейтралью приемника) \(N'\), которая соединена с нулевым проводом источника N.) (Описание схемы для тетради): Нарисуйте трехфазный источник напряжения (три обмотки, соединенные в звезду, с общей точкой N). От каждой обмотки идут фазные провода A, B, C. От общей точки N идет нулевой провод. Нарисуйте приемник (три сопротивления \(Z_A\), \(Z_B\), \(Z_C\), соединенные в звезду, с общей точкой \(N'\)). Соедините фазные провода A, B, C источника с соответствующими фазами приемника. Соедините нулевой провод N источника с общей точкой \(N'\) приемника. 2. Рассчитаем фазные и линейные токи для трех заданных режимов работы. Исходные данные: Линейное напряжение \(U_л = 220\) В. Сопротивления фаз: \(Z_A = 10\) Ом, \(Z_B = j10\) Ом, \(Z_C = -j20\) Ом. Для симметричной трехфазной системы с линейным напряжением \(U_л\), фазное напряжение \(U_ф\) определяется как: \[U_ф = \frac{U_л}{\sqrt{3}}\] \[U_ф = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127.02\] В. Примем фазные напряжения источника в качестве базисных векторов: \[\dot{U}_A = U_ф \angle 0^\circ = 127.02 \angle 0^\circ\] В \[\dot{U}_B = U_ф \angle -120^\circ = 127.02 \angle -120^\circ\] В \[\dot{U}_C = U_ф \angle 120^\circ = 127.02 \angle 120^\circ\] В а) Нормальный режим работы (четырехпроводная цепь, обрывов и КЗ нет). В четырехпроводной цепи при соединении звездой фазные напряжения на приемнике равны фазным напряжениям источника, если нулевой провод идеален (не имеет сопротивления). \[\dot{U}_{фA} = \dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ\] В \[\dot{U}_{фB} = \dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ\] В \[\dot{U}_{фC} = \dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ\] В Рассчитаем фазные токи: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{фA}}{Z_A} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{10 \angle 0^\circ} = 12.702 \angle 0^\circ\] А \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{фB}}{Z_B} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{j10} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{10 \angle 90^\circ} = 12.702 \angle (-120^\circ - 90^\circ) = 12.702 \angle -210^\circ = 12.702 \angle 150^\circ\] А \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{фC}}{Z_C} = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{-j20} = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{20 \angle -90^\circ} = 6.351 \angle (120^\circ - (-90^\circ)) = 6.351 \angle 210^\circ = 6.351 \angle -150^\circ\] А Линейные токи в схеме «звезда» равны фазным токам: \[\dot{I}_Л_A = \dot{I}_A = 12.702 \angle 0^\circ\] А \[\dot{I}_Л_B = \dot{I}_B = 12.702 \angle 150^\circ\] А \[\dot{I}_Л_C = \dot{I}_C = 6.351 \angle -150^\circ\] А Ток в нулевом проводе: \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] Переведем токи в алгебраическую форму: \[\dot{I}_A = 12.702 + j0\] \[\dot{I}_B = 12.702 (\cos 150^\circ + j \sin 150^\circ) = 12.702 (-\frac{\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2}) \approx 12.702 (-0.866 + j0.5) \approx -11.00 + j6.35\] \[\dot{I}_C = 6.351 (\cos (-150^\circ) + j \sin (-150^\circ)) = 6.351 (-\frac{\sqrt{3}}{2} - j \frac{1}{2}) \approx 6.351 (-0.866 - j0.5) \approx -5.50 - j3.17\] \[\dot{I}_N = (12.702 - 11.00 - 5.50) + j(0 + 6.35 - 3.17) = -3.798 + j3.18\] \[|\dot{I}_N| = \sqrt{(-3.798)^2 + (3.18)^2} \approx \sqrt{14.42 + 10.11} \approx \sqrt{24.53} \approx 4.95\] А Расчет мощностей: Активная мощность фазы A: \(P_A = |\dot{U}_{фA}| |\dot{I}_A| \cos(\phi_A)\) или \(P_A = |\dot{I}_A|^2 \text{Re}(Z_A)\) \(Z_A = 10 \angle 0^\circ\), \(\text{Re}(Z_A) = 10\), \(\text{Im}(Z_A) = 0\) \(P_A = (12.702)^2 \cdot 10 = 161.34 \cdot 10 = 1613.4\) Вт Реактивная мощность фазы A: \(Q_A = |\dot{I}_A|^2 \text{Im}(Z_A) = 0\) Вар \(Z_B = j10 = 10 \angle 90^\circ\), \(\text{Re}(Z_B) = 0\), \(\text{Im}(Z_B) = 10\) \(P_B = (12.702)^2 \cdot 0 = 0\) Вт \(Q_B = (12.702)^2 \cdot 10 = 1613.4\) Вар \(Z_C = -j20 = 20 \angle -90^\circ\), \(\text{Re}(Z_C) = 0\), \(\text{Im}(Z_C) = -20\) \(P_C = (6.351)^2 \cdot 0 = 0\) Вт \(Q_C = (6.351)^2 \cdot (-20) = 40.335 \cdot (-20) = -806.7\) Вар Полная мощность приемника: \[S_п = P_п + jQ_п\] \[P_п = P_A + P_B + P_C = 1613.4 + 0 + 0 = 1613.4\] Вт \[Q_п = Q_A + Q_B + Q_C = 0 + 1613.4 - 806.7 = 806.7\] Вар \[S_п = \sqrt{P_п^2 + Q_п^2} = \sqrt{1613.4^2 + 806.7^2} = \sqrt{2603000 + 650760} = \sqrt{3253760} \approx 1803.8\] ВА Коэффициент мощности приемника: \[\cos \phi_п = \frac{P_п}{S_п} = \frac{1613.4}{1803.8} \approx 0.894\] Мощности источника (при отсутствии потерь в проводах, мощности источника равны мощностям приемника): \[P_{ист} = P_п = 1613.4\] Вт \[Q_{ист} = Q_п = 806.7\] Вар \[S_{ист} = S_п = 1803.8\] ВА Баланс мощности: Активная мощность источника равна активной мощности приемника: \(P_{ист} = P_п\). Реактивная мощность источника равна реактивной мощности приемника: \(Q_{ист} = Q_п\). Полная мощность источника равна полной мощности приемника: \(S_{ист} = S_п\). Баланс мощностей соблюдается. б) Обрыв заданной фазы нагрузки (фаза А). В случае обрыва фазы А, ток в этой фазе равен нулю: \(\dot{I}_A = 0\). Цепь становится двухфазной, так как ток течет только по фазам B и C через нулевой провод. Фазные напряжения на приемнике: \[\dot{U}_{фA} = 0\] (поскольку ток равен нулю, падение напряжения на \(Z_A\) равно нулю, но это не совсем так, напряжение на разомкнутой цепи будет равно напряжению источника, если нет других нагрузок. Здесь же, если обрыв в самой нагрузке, то ток через \(Z_A\) не пойдет.) Если обрыв в фазном проводе, то ток в фазе А равен нулю. Токи в фазах B и C остаются прежними, так как они подключены к источнику через нулевой провод. \[\dot{I}_B = 12.702 \angle 150^\circ\] А \[\dot{I}_C = 6.351 \angle -150^\circ\] А Ток в нулевом проводе: \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0 + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] \[\dot{I}_N = (-11.00 + j6.35) + (-5.50 - j3.17) = -16.50 + j3.18\] \[|\dot{I}_N| = \sqrt{(-16.50)^2 + (3.18)^2} = \sqrt{272.25 + 10.11} = \sqrt{282.36} \approx 16.80\] А в) Короткое замыкание заданной фазы (фаза С) при одновременном обрыве нулевого провода. Это режим трехпроводной цепи с КЗ фазы С. При обрыве нулевого провода, нейтраль приемника \(N'\) не соединена с нейтралью источника N. При коротком замыкании фазы С, сопротивление \(Z_C\) становится равным нулю. В трехпроводной цепи сумма фазных токов равна нулю: \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\). Также, сумма фазных напряжений на нагрузке равна нулю: \(\dot{U}_{фA} + \dot{U}_{фB} + \dot{U}_{фC} = 0\). Линейные напряжения на источнике: \[\dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = 220 \angle 30^\circ\] В \[\dot{U}_{BC} = \dot{U}_B - \dot{U}_C = 220 \angle -90^\circ\] В \[\dot{U}_{CA} = \dot{U}_C - \dot{U}_A = 220 \angle 150^\circ\] В При КЗ фазы С, напряжение на ней \(\dot{U}_{фC} = 0\). Тогда: \[\dot{U}_{фA} = \dot{I}_A Z_A\] \[\dot{U}_{фB} = \dot{I}_B Z_B\] \[\dot{U}_{фC} = \dot{I}_C Z_C = 0\] (поскольку \(Z_C = 0\)) В трехпроводной цепи: \[\dot{U}_{AB} = \dot{U}_{фA} - \dot{U}_{фB} = \dot{I}_A Z_A - \dot{I}_B Z_B\] \[\dot{U}_{BC} = \dot{U}_{фB} - \dot{U}_{фC} = \dot{U}_{фB} - 0 = \dot{U}_{фB} = \dot{I}_B Z_B\] \[\dot{U}_{CA} = \dot{U}_{фC} - \dot{U}_{фA} = 0 - \dot{U}_{фA} = -\dot{U}_{фA} = -\dot{I}_A Z_A\] Из \(\dot{U}_{BC} = \dot{I}_B Z_B\): \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BC}}{Z_B} = \frac{220 \angle -90^\circ}{j10} = \frac{220 \angle -90^\circ}{10 \angle 90^\circ} = 22 \angle (-90^\circ - 90^\circ) = 22 \angle -180^\circ\] А \[\dot{I}_B = -22 + j0\] А Из \(\dot{U}_{CA} = -\dot{I}_A Z_A\): \[\dot{I}_A = -\frac{\dot{U}_{CA}}{Z_A} = -\frac{220 \angle 150^\circ}{10} = -22 \angle 150^\circ\] А \[\dot{I}_A = -22 (\cos 150^\circ + j \sin 150^\circ) = -22 (-\frac{\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2}) = 11\sqrt{3} - j11 \approx 19.05 - j11\] А Теперь найдем \(\dot{I}_C\) из условия \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\): \[\dot{I}_C = -(\dot{I}_A + \dot{I}_B) = -((19.05 - j11) + (-22 + j0)) = -(-2.95 - j11) = 2.95 + j11\] А \[|\dot{I}_C| = \sqrt{2.95^2 + 11^2} = \sqrt{8.7025 + 121} = \sqrt{129.7025} \approx 11.39\] А Линейные токи: \[\dot{I}_Л_A = \dot{I}_A = 19.05 - j11\] А \[\dot{I}_Л_B = \dot{I}_B = -22 + j0\] А \[\dot{I}_Л_C = \dot{I}_C = 2.95 + j11\] А 3. Построить для всех рассчитанных режимов работы топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов. (Здесь я могу только описать, как их построить, так как рисовать графики текстом невозможно. Для тетради вам нужно будет нарисовать их вручную или с помощью графического редактора.) а) Нормальный режим работы: Топографическая диаграмма напряжений: * Нарисуйте три вектора фазных напряжений источника \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) из одной точки (нейтрали N) под углами \(0^\circ\), \(-120^\circ\), \(120^\circ\) соответственно. Длины векторов одинаковы (127.02 В). * Эти же векторы будут представлять фазные напряжения на нагрузке \(\dot{U}_{фA}\), \(\dot{U}_{фB}\), \(\dot{U}_{фC}\), так как нулевой провод соединен. * Линейные напряжения \(\dot{U}_{AB}\), \(\dot{U}_{BC}\), \(\dot{U}_{CA}\) будут векторами, соединяющими концы фазных напряжений, и их длины будут 220 В. Векторная диаграмма токов: * Нарисуйте векторы фазных токов \(\dot{I}_A\), \(\dot{I}_B\), \(\dot{I}_C\) из одной точки (начала координат). * \(\dot{I}_A = 12.702 \angle 0^\circ\) (по горизонтали вправо). * \(\dot{I}_B = 12.702 \angle 150^\circ\) (во втором квадранте). * \(\dot{I}_C = 6.351 \angle -150^\circ\) (в третьем квадранте). * Вектор \(\dot{I}_N\) будет суммой этих трех векторов. Нарисуйте его, сложив векторы по правилу многоугольника или параллелограмма. б) Обрыв фазы А: Топографическая диаграмма напряжений: * Фазные напряжения источника \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) остаются прежними. * Напряжения на нагрузке: \(\dot{U}_{фA}\) будет равно \(\dot{U}_A\) (если обрыв в нагрузке, то на разомкнутой цепи напряжение источника). Если обрыв в проводе, то ток в фазе А равен 0, но напряжение на клеммах нагрузки А-N' будет равно напряжению источника А-N. * \(\dot{U}_{фB} = \dot{U}_B\), \(\dot{U}_{фC} = \dot{U}_C\). Векторная диаграмма токов: * \(\dot{I}_A = 0\). * \(\dot{I}_B = 12.702 \angle 150^\circ\). * \(\dot{I}_C = 6.351 \angle -150^\circ\). * Вектор \(\dot{I}_N\) будет суммой только \(\dot{I}_B\) и \(\dot{I}_C\). в) Короткое замыкание фазы С при обрыве нулевого провода: Топографическая диаграмма напряжений: * Нарисуйте фазные напряжения источника \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) и линейные напряжения \(\dot{U}_{AB}\), \(\dot{U}_{BC}\), \(\dot{U}_{CA}\). * Напряжение на фазе С приемника \(\dot{U}_{фC} = 0\). * Напряжение на фазе B приемника \(\dot{U}_{фB} = \dot{U}_{BC} = 220 \angle -90^\circ\). * Напряжение на фазе A приемника \(\dot{U}_{фA} = -\dot{U}_{CA} = 220 \angle -30^\circ\). * Нейтраль приемника \(N'\) будет смещена относительно нейтрали источника N. Векторная диаграмма токов: * \(\dot{I}_A = 19.05 - j11\) (в четвертом квадранте). * \(\dot{I}_B = -22 + j0\) (по горизонтали влево). * \(\dot{I}_C = 2.95 + j11\) (в первом квадранте). * Сумма этих трех векторов должна быть равна нулю. --- Надеюсь, это подробное решение поможет вам переписать его в тетрадь. Если у вас возникнут вопросы по конкретным шагам или построению диаграмм, не стесняйтесь спрашивать!