Задание 5
Постройте таблицу истинности для выражения \( A \land \neg B \lor \neg A \). Сколько строк содержат значение 1 в последнем столбце?
Решение:
Для построения таблицы истинности сначала определим количество переменных. В выражении \( A \land \neg B \lor \neg A \) есть две уникальные переменные: \( A \) и \( B \). Количество строк в таблице истинности будет \( 2^n \), где \( n \) - количество переменных. В нашем случае \( n = 2 \), поэтому количество строк будет \( 2^2 = 4 \).
Далее определим порядок выполнения операций и создадим столбцы для промежуточных результатов:
- \( \neg B \) (отрицание B)
- \( \neg A \) (отрицание A)
- \( A \land \neg B \) (конъюнкция A и не-B)
- \( (A \land \neg B) \lor \neg A \) (дизъюнкция результата предыдущей операции и не-A)
Теперь построим таблицу истинности:
| \( A \) | \( B \) | \( \neg B \) | \( \neg A \) | \( A \land \neg B \) | \( (A \land \neg B) \lor \neg A \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | \( 0 \land 1 = 0 \) | \( 0 \lor 1 = 1 \) |
| 0 | 1 | 0 | 1 | \( 0 \land 0 = 0 \) | \( 0 \lor 1 = 1 \) |
| 1 | 0 | 1 | 0 | \( 1 \land 1 = 1 \) | \( 1 \lor 0 = 1 \) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | \( 1 \land 0 = 0 \) | \( 0 \lor 0 = 0 \) |
Теперь посчитаем, сколько строк содержат значение 1 в последнем столбце \( (A \land \neg B) \lor \neg A \):
- Строка 1: \( (0 \land 1) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \)
- Строка 2: \( (0 \land 0) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \)
- Строка 3: \( (1 \land 1) \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \)
- Строка 4: \( (1 \land 0) \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \)
Значение 1 содержится в 3 строках.
Ответ: 3