Решение:

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Контрольная работа «Статистика. Множества». Вариант 2 1. Запишите множества, используя рисунок (большие буквы A, B, C – обозначение множеств, маленькие буквы – элементы множеств, числа – количество элементов): A, A \(\cap\) C, C \(\cup\) B, C \(\setminus\) B. Решение: По рисунку видно, что: Множество A содержит элементы: 1, p, a, n, 53. Множество B содержит элементы: p, a, 5, g, m, 3, 35. Множество C содержит элементы: n, a, 5, h, g, 19. Теперь запишем требуемые множества: A = {1, p, a, n, 53} A \(\cap\) C (пересечение A и C) – это элементы, которые есть и в A, и в C. A \(\cap\) C = {a, n} C \(\cup\) B (объединение C и B) – это все элементы, которые есть в C или в B (без повторений). C \(\cup\) B = {n, a, 5, h, g, 19, p, m, 3, 35} C \(\setminus\) B (разность C и B) – это элементы, которые есть в C, но которых нет в B. C \(\setminus\) B = {n, 19} 2. Найдите множества A \(\cap\) B, A \(\cup\) B, A \(\setminus\) B: A = {x | x \(\in\) Z, 3 < x \(\le\) 10} B = {x | x \(\in\) Z, x \(\le\) 7} Решение: Сначала запишем элементы множеств A и B в явном виде. Множество A состоит из целых чисел, которые больше 3, но меньше или равны 10. A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Множество B состоит из целых чисел, которые меньше или равны 7. B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Теперь найдем требуемые множества: A \(\cap\) B (пересечение A и B) – это элементы, которые есть и в A, и в B. A \(\cap\) B = {4, 5, 6, 7} A \(\cup\) B (объединение A и B) – это все элементы, которые есть в A или в B (без повторений). A \(\cup\) B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A \(\setminus\) B (разность A и B) – это элементы, которые есть в A, но которых нет в B. A \(\setminus\) B = {8, 9, 10} 3. Решите задачу. В чате друзей состоит 48 человек, ребята решили проголосовать за следующее место общей прогулки. За парк проголосовали – 27 человек, за музей – 30, за пиццерию – 32, за музей и парк – 18, за музей и пиццерию – 21, за парк и за пиццерию – 13, за все три места проголосовали 9 человек. Ребята решили, что примут решение только после того, как проголосуют все. Сколько ребят еще не проголосовали? Решение: Обозначим множества: П – проголосовавшие за парк М – проголосовавшие за музей Ц – проголосовавшие за пиццерию Дано: Всего человек = 48 |П| = 27 |М| = 30 |Ц| = 32 |М \(\cap\) П| = 18 |М \(\cap\) Ц| = 21 |П \(\cap\) Ц| = 13 |П \(\cap\) М \(\cap\) Ц| = 9 Для того чтобы найти общее количество проголосовавших, воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств: |П \(\cup\) М \(\cup\) Ц| = |П| + |М| + |Ц| - |П \(\cap\) М| - |П \(\cap\) Ц| - |М \(\cap\) Ц| + |П \(\cap\) М \(\cap\) Ц| Подставим значения: |П \(\cup\) М \(\cup\) Ц| = 27 + 30 + 32 - 18 - 21 - 13 + 9 |П \(\cup\) М \(\cup\) Ц| = 89 - 52 + 9 |П \(\cup\) М \(\cup\) Ц| = 37 + 9 |П \(\cup\) М \(\cup\) Ц| = 46 Таким образом, 46 человек уже проголосовали хотя бы за одно место. Всего в чате 48 человек. Количество ребят, которые еще не проголосовали = Всего человек - Количество проголосовавших Количество не проголосовавших = 48 - 46 = 2 Ответ: 2 человека еще не проголосовали. 4. Дан набор чисел: -8; 9; 1; -6; 3; -2; 7; 2; -5; -4. Найдите: а) среднее арифметическое данного набора чисел; б) медиану данного набора чисел; в) дисперсию данного набора чисел; г) стандартное отклонение данного набора чисел, ответ округлите до сотых. Решение: Сначала упорядочим набор чисел по возрастанию: -8; -6; -5; -4; -2; 1; 2; 3; 7; 9. Количество чисел в наборе (n) = 10. а) Среднее арифметическое (\(\bar{x}\)): Сумма всех чисел: S = (-8) + 9 + 1 + (-6) + 3 + (-2) + 7 + 2 + (-5) + (-4) S = -8 + 9 + 1 - 6 + 3 - 2 + 7 + 2 - 5 - 4 S = (9 + 1 + 3 + 7 + 2) + (-8 - 6 - 2 - 5 - 4) S = 22 + (-25) S = -3 Среднее арифметическое: \[\bar{x} = \frac{S}{n} = \frac{-3}{10} = -0.3\] б) Медиана (Me): Поскольку количество чисел четное (n=10), медиана будет средним арифметическим двух центральных чисел. Упорядоченный ряд: -8; -6; -5; -4; -2; 1; 2; 3; 7; 9. Центральные числа – это 5-е и 6-е числа в упорядоченном ряду. 5-е число = -2 6-е число = 1 \[Me = \frac{-2 + 1}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5\] в) Дисперсия (\(\sigma^2\)): Дисперсия вычисляется по формуле: \[\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}\] где \(x_i\) – каждое число в наборе, \(\bar{x}\) – среднее арифметическое, \(n\) – количество чисел. Вычислим \((x_i - \bar{x})^2\) для каждого числа: \(\bar{x} = -0.3\) \((-8 - (-0.3))^2 = (-8 + 0.3)^2 = (-7.7)^2 = 59.29\) \((9 - (-0.3))^2 = (9 + 0.3)^2 = (9.3)^2 = 86.49\) \((1 - (-0.3))^2 = (1 + 0.3)^2 = (1.3)^2 = 1.69\) \((-6 - (-0.3))^2 = (-6 + 0.3)^2 = (-5.7)^2 = 32.49\) \((3 - (-0.3))^2 = (3 + 0.3)^2 = (3.3)^2 = 10.89\) \((-2 - (-0.3))^2 = (-2 + 0.3)^2 = (-1.7)^2 = 2.89\) \((7 - (-0.3))^2 = (7 + 0.3)^2 = (7.3)^2 = 53.29\) \((2 - (-0.3))^2 = (2 + 0.3)^2 = (2.3)^2 = 5.29\) \((-5 - (-0.3))^2 = (-5 + 0.3)^2 = (-4.7)^2 = 22.09\) \((-4 - (-0.3))^2 = (-4 + 0.3)^2 = (-3.7)^2 = 13.69\) Сумма квадратов отклонений: \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 59.29 + 86.49 + 1.69 + 32.49 + 10.89 + 2.89 + 53.29 + 5.29 + 22.09 + 13.69 = 288.1\) Дисперсия: \[\sigma^2 = \frac{288.1}{10} = 28.81\] г) Стандартное отклонение (\(\sigma\)): Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии. \[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{28.81}\] Вычислим значение и округлим до сотых: \(\sqrt{28.81} \approx 5.367494\) Округляем до сотых: 5.37 Ответы: а) Среднее арифметическое: -0.3 б) Медиана: -0.5 в) Дисперсия: 28.81 г) Стандартное отклонение: 5.37