Задача:
Смешанное произведение векторов \(\vec{a} = \{2; 1; -1\}\), \(\vec{b} = \{2; 3; 0\}\) и \(\vec{c} = \{1; 0; 0\}\) равно...
Выберите один ответ:
0
-3
3
4
Решение:
Смешанное произведение трех векторов \(\vec{a} = \{x_a; y_a; z_a\}\), \(\vec{b} = \{x_b; y_b; z_b\}\) и \(\vec{c} = \{x_c; y_c; z_c\}\) вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ x_c & y_c & z_c \end{vmatrix} \]В нашем случае даны векторы:
\[ \vec{a} = \{2; 1; -1\} \] \[ \vec{b} = \{2; 3; 0\} \] \[ \vec{c} = \{1; 0; 0\} \]Подставим их координаты в определитель:
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]Вычислим определитель. Удобнее всего разложить его по третьей строке, так как в ней много нулей:
\[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \]Упростим выражение, так как слагаемые с нулями обнулятся:
\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) \] \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 1 \cdot (0 + 3) \] \[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 3 \]Ответ:
3