Решение задачи K-2, B-2 по геометрии 7 класс

7 класс

К–2, В–2

1. На рисунке каждый из отрезков \(ME\) и \(PK\) делится точкой \(O\) пополам. Докажите, что угол \(KMO\) равен углу \(PEO\).

Дано:

• Отрезки \(ME\) и \(PK\) пересекаются в точке \(O\).
• Точка \(O\) делит отрезок \(ME\) пополам, то есть \(MO = OE\).
• Точка \(O\) делит отрезок \(PK\) пополам, то есть \(PO = OK\).

Доказать:

• \(\angle KMO = \angle PEO\).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \(\triangle KMO\) и \(\triangle PEO\).

1. По условию, \(MO = OE\).
2. По условию, \(KO = OP\).
3. Углы \(\angle KOM\) и \(\angle POE\) являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны, поэтому \(\angle KOM = \angle POE\).

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что треугольники \(\triangle KMO\) и \(\triangle PEO\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников \(\triangle KMO\) и \(\triangle PEO\) следует равенство их соответствующих углов. Угол \(\angle KMO\) является углом, лежащим напротив стороны \(KO\) в треугольнике \(\triangle KMO\). Угол \(\angle PEO\) является углом, лежащим напротив стороны \(PO\) в треугольнике \(\triangle PEO\). Так как \(KO = PO\), то и углы, лежащие напротив этих сторон, равны.

Следовательно, \(\angle KMO = \angle PEO\).

Что и требовалось доказать.

2. На сторонах угла \(D\) отмечены точки \(M\) и \(K\) так, что \(DM = DK\). Известно, что точка \(P\) лежит внутри угла \(D\) и \(PK = PM\). Докажите, что луч \(DP\) — биссектриса угла \(MDK\).

Дано:

• Угол \(D\).
• Точки \(M\) и \(K\) на сторонах угла \(D\).
• \(DM = DK\).
• Точка \(P\) лежит внутри угла \(D\).
• \(PK = PM\).

Доказать:

• Луч \(DP\) — биссектриса угла \(MDK\).

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что луч \(DP\) является биссектрисой угла \(MDK\), необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть \(\angle MDP = \angle KDP\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle DPM\) и \(\triangle DPK\).

1. По условию, \(DM = DK\).
2. По условию, \(PM = PK\).
3. Сторона \(DP\) является общей для обоих треугольников.

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что треугольники \(\triangle DPM\) и \(\triangle DPK\) равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников \(\triangle DPM\) и \(\triangle DPK\) следует равенство их соответствующих углов. Угол \(\angle MDP\) в треугольнике \(\triangle DPM\) соответствует углу \(\angle KDP\) в треугольнике \(\triangle DPK\).

Следовательно, \(\angle MDP = \angle KDP\).

По определению биссектрисы угла, луч, который делит угол на два равных угла, является биссектрисой этого угла.

Таким образом, луч \(DP\) является биссектрисой угла \(MDK\).

Что и требовалось доказать.

3. Начертите равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\). С помощью циркуля и линейки проведите высоту \(AH\) к боковой стороне \(BC\).

Построение:

1. Начертите равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\).
   • Начертите отрезок \(AC\) — это будет основание треугольника.
   • Отметьте середину отрезка \(AC\).
   • Из середины отрезка \(AC\) проведите перпендикулярную прямую (ось симметрии).
   • На этой перпендикулярной прямой выберите точку \(B\).
   • Соедините точки \(A\) и \(B\), а также точки \(B\) и \(C\).
   • Треугольник \(ABC\) будет равнобедренным с основанием \(AC\) и боковыми сторонами \(AB = BC\).
2. Проведите высоту \(AH\) к боковой стороне \(BC\) с помощью циркуля и линейки.
   • Поставьте острие циркуля в точку \(A\).
   • Раскройте циркуль так, чтобы его радиус был больше расстояния от \(A\) до прямой \(BC\).
   • Проведите дугу, которая пересечет прямую \(BC\) в двух точках. Обозначим эти точки как \(X\) и \(Y\). (Если сторона \(BC\) слишком короткая, чтобы дуга пересекла ее дважды, можно продлить сторону \(BC\) за точку \(C\)).
   • Теперь поставьте острие циркуля в точку \(X\) и проведите дугу.
   • Не меняя раствора циркуля, поставьте острие циркуля в точку \(Y\) и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересекла предыдущую дугу. Обозначим точку пересечения этих дуг как \(Z\).
   • С помощью линейки проведите прямую через точки \(A\) и \(Z\).
   • Точка пересечения этой прямой с отрезком \(BC\) (или его продолжением) будет точкой \(H\).
   • Отрезок \(AH\) — это высота, опущенная из вершины \(A\) на сторону \(BC\). По построению, \(AH \perp BC\).