Решение контрольной работы «Квадратные корни», Вариант 1

Вот решения задач из контрольной работы "Квадратные корни", Вариант 1. Контрольная работа «Квадратные корни» Вариант 1 1. Сравните: а) \( \sqrt{24} \) и \( \sqrt{27} \) Решение: Так как \( 24 < 27 \), то \( \sqrt{24} < \sqrt{27} \). Ответ: \( \sqrt{24} < \sqrt{27} \) б) \( \sqrt{18} \) и \( 4 \) Решение: Представим \( 4 \) как квадратный корень: \( 4 = \sqrt{16} \). Так как \( 18 > 16 \), то \( \sqrt{18} > \sqrt{16} \), то есть \( \sqrt{18} > 4 \). Ответ: \( \sqrt{18} > 4 \) 2. Вычислите: а) \( \sqrt{25 \cdot 16} \) Решение: \( \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20 \) Ответ: \( 20 \) б) \( \sqrt{75} \) Решение: \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) Ответ: \( 5\sqrt{3} \) в) \( \sqrt{\frac{2}{9}} \) Решение: \( \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{3} \) г) \( \sqrt{81} \cdot (\sqrt{625} - \sqrt{144}) \) Решение: \( \sqrt{81} \cdot (\sqrt{625} - \sqrt{144}) = 9 \cdot (25 - 12) = 9 \cdot 13 = 117 \) Ответ: \( 117 \) 3. Исключите иррациональность из знаменателя: а) \( \frac{3}{\sqrt{6}} \) Решение: \( \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{2} \) б) \( \frac{3}{4\sqrt{7}} \) Решение: \( \frac{3}{4\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{4\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{4 \cdot 7} = \frac{3\sqrt{7}}{28} \) Ответ: \( \frac{3\sqrt{7}}{28} \) 4. Решите уравнение: а) \( x^2 = 36 \) Решение: \( x^2 = 36 \) \( x = \pm\sqrt{36} \) \( x = \pm 6 \) Ответ: \( x_1 = 6, x_2 = -6 \) б) \( x^2 = 9,3 \) Решение: \( x^2 = 9,3 \) \( x = \pm\sqrt{9,3} \) Ответ: \( x_1 = \sqrt{9,3}, x_2 = -\sqrt{9,3} \) в) \( \sqrt{x} = 25 \) Решение: \( \sqrt{x} = 25 \) Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = 25^2 \) \( x = 625 \) Ответ: \( x = 625 \) г) \( \sqrt{x} = -4 \) Решение: Квадратный корень из числа по определению не может быть отрицательным. Поэтому уравнение не имеет решений. Ответ: Нет решений 5. Упростите выражение: а) \( 5\sqrt{2} - 4\sqrt{8} + 3\sqrt{32} \) Решение: \( 5\sqrt{2} - 4\sqrt{8} + 3\sqrt{32} = 5\sqrt{2} - 4\sqrt{4 \cdot 2} + 3\sqrt{16 \cdot 2} = \) \( = 5\sqrt{2} - 4 \cdot 2\sqrt{2} + 3 \cdot 4\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 8\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = \) \( = (5 - 8 + 12)\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \) Ответ: \( 9\sqrt{2} \) б) \( (\sqrt{7} - \sqrt{12})^2 \) Решение: \( (\sqrt{7} - \sqrt{12})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{12} + (\sqrt{12})^2 = \) \( = 7 - 2\sqrt{7 \cdot 12} + 12 = 19 - 2\sqrt{84} = 19 - 2\sqrt{4 \cdot 21} = \) \( = 19 - 2 \cdot 2\sqrt{21} = 19 - 4\sqrt{21} \) Ответ: \( 19 - 4\sqrt{21} \) в) \( (\sqrt{7} - 3)^2 \) Решение: \( (\sqrt{7} - 3)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 = 7 - 6\sqrt{7} + 9 = 16 - 6\sqrt{7} \) Ответ: \( 16 - 6\sqrt{7} \) г) \( (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})(\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) \) Решение: Это формула разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \). \( (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})(\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 5 - (2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \) \( = 5 - (4 \cdot 2) = 5 - 8 = -3 \) Ответ: \( -3 \) 6. Вычислить: а) \( \sqrt{3^8} \) Решение: \( \sqrt{3^8} = (3^8)^{\frac{1}{2}} = 3^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 3^4 = 81 \) Ответ: \( 81 \) б) \( \sqrt{(-2)^4} \) Решение: \( \sqrt{(-2)^4} = \sqrt{16} = 4 \) Или: \( \sqrt{(-2)^4} = ((-2)^4)^{\frac{1}{2}} = (-2)^{4 \cdot \frac{1}{2}} = (-2)^2 = 4 \) Ответ: \( 4 \) в) \( \sqrt{5^4} \) Решение: \( \sqrt{5^4} = (5^4)^{\frac{1}{2}} = 5^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 5^2 = 25 \) Ответ: \( 25 \) 7. Упростите выражение: \( \sqrt{4 \frac{1}{2}} - 0,5\sqrt{56} - 3\sqrt{\frac{1}{9}} \) Решение: Сначала преобразуем смешанную дробь и вынесем множители из-под корня: \( \sqrt{4 \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) \( 0,5\sqrt{56} = 0,5\sqrt{4 \cdot 14} = 0,5 \cdot 2\sqrt{14} = \sqrt{14} \) \( 3\sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \) Теперь подставим эти значения обратно в выражение: \( \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{14} - 1 \) Ответ: \( \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{14} - 1 \)