Контрольная работа за 1 полугодие. Математика. 11 класс
Задание 1/10
Условие задания: Найди значение выражения:
\[3^{3,8} \cdot 9^{0,5} : \sqrt[5]{3^{-1}}\]Решение:
Для начала приведем все степени к одному основанию 3.
1. Преобразуем \(9^{0,5}\):
\[9^{0,5} = (3^2)^{0,5} = 3^{2 \cdot 0,5} = 3^1 = 3\]2. Преобразуем \(\sqrt[5]{3^{-1}}\):
\[\sqrt[5]{3^{-1}} = 3^{-\frac{1}{5}} = 3^{-0,2}\]Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\[3^{3,8} \cdot 3^1 : 3^{-0,2}\]При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются:
\[3^{3,8 + 1 - (-0,2)} = 3^{3,8 + 1 + 0,2} = 3^{5}\]Вычислим \(3^5\):
\[3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243\]Ответ: 243
Задание 2/10
Условие задания: Реши уравнение:
\[\left(\frac{1}{729}\right)^{d+5} = 9^{-d}\]Решение:
Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что \(729 = 9^3\).
1. Преобразуем левую часть уравнения:
\[\frac{1}{729} = \frac{1}{9^3} = 9^{-3}\]Теперь подставим это в уравнение:
\[(9^{-3})^{d+5} = 9^{-d}\]Используем свойство \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
\[9^{-3(d+5)} = 9^{-d}\] \[9^{-3d - 15} = 9^{-d}\]Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны:
\[-3d - 15 = -d\]Перенесем члены с \(d\) в одну сторону, а числа — в другую:
\[-15 = -d + 3d\] \[-15 = 2d\]Разделим обе части на 2:
\[d = -\frac{15}{2}\] \[d = -7,5\]Ответ: \(d = -7,5\)
Задание 3/10
Условие задания: График функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) изображён на рисунке:
(На изображении представлены четыре графика. Необходимо выбрать правильный.)
Решение:
Логарифмическая функция \(y = \log_a x\) имеет следующие свойства:
1. Область определения: \(x > 0\).
2. График всегда проходит через точку \((1; 0)\), так как \(\log_a 1 = 0\) для любого допустимого основания \(a\).
3. Если основание \(a > 1\), функция возрастает. Если \(0 < a < 1\), функция убывает.
В данном случае основание \(a = \frac{1}{2}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) является убывающей.
Среди предложенных графиков нужно найти тот, который:
- расположен справа от оси \(y\) (то есть \(x > 0\));
- проходит через точку \((1; 0)\);
- убывает (при увеличении \(x\) значение \(y\) уменьшается).
Правильный график — это второй график сверху, который проходит через \((1;0)\) и убывает.
Ответ: Второй график сверху.
Задание 4/10
Условие задания: Реши уравнение: \(\log_{0,3} (15 + 2x) = 1\).
Решение:
По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).
В нашем уравнении \(a = 0,3\), \(b = 15 + 2x\), \(c = 1\).
Применим определение логарифма:
\[0,3^1 = 15 + 2x\] \[0,3 = 15 + 2x\]Теперь решим это линейное уравнение относительно \(x\):
\[2x = 0,3 - 15\] \[2x = -14,7\] \[x = \frac{-14,7}{2}\] \[x = -7,35\]Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: \(15 + 2x > 0\).
Подставим найденное значение \(x\):
\[15 + 2(-7,35) = 15 - 14,7 = 0,3\]Так как \(0,3 > 0\), найденное значение \(x\) является решением.
Ответ: \(x = -7,35\)
Задание 5/10
Условие задания: Реши неравенство: \(\log_{2,7} (7 - x) - 1 > 0\).
Основание 2,7 показывает, что функция \(y = \log_{2,7} t\) является (возрастающей/убывающей) и знак неравенства (сохраняется/меняется).
Выбери множество решений неравенства:
- \(x \in (-\infty; 7)\)
- \(x \in (-\infty; 4,3)\)
- \(x \in (4,3; 7)\)
- \(x \in (-\infty; 4,3]\)
- \(x \in (4,3; +\infty)\)
Решение:
Сначала определим свойства логарифмической функции с основанием 2,7.
Так как основание \(a = 2,7\) и \(2,7 > 1\), то функция \(y = \log_{2,7} t\) является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для аргументов логарифма, знак неравенства сохраняется.
Теперь решим неравенство:
\[\log_{2,7} (7 - x) - 1 > 0\] \[\log_{2,7} (7 - x) > 1\]Представим 1 как логарифм по основанию 2,7:
\[1 = \log_{2,7} 2,7\]Тогда неравенство примет вид:
\[\log_{2,7} (7 - x) > \log_{2,7} 2,7\]Поскольку основание логарифма \(2,7 > 1\), функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
\[7 - x > 2,7\] \[-x > 2,7 - 7\] \[-x > -4,3\]Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\[x < 4,3\]Теперь учтем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
\[7 - x > 0\] \[-x > -7\] \[x < 7\]Объединим оба условия: \(x < 4,3\) и \(x < 7\).
Пересечением этих двух условий является \(x < 4,3\).
В интервальной записи это \(x \in (-\infty; 4,3)\).
Ответ: Основание 2,7 показывает, что функция \(y = \log_{2,7} t\) является возрастающей и знак неравенства сохраняется. Множество решений неравенства: \(x \in (-\infty; 4,3)\).
Задание 6/10
Условие задания: Сравни числа:
(Ответ запиши, используя соответствующие знаки: \(>\) или \(<\).)
\(\cos \frac{7\pi}{20} \quad \boxed{\phantom{>}} \quad \cos \frac{\pi}{7}\);
\(\cos 83^\circ \quad \boxed{\phantom{>}} \quad \cos 13^\circ\).
Решение:
Для сравнения значений косинуса нужно помнить, что функция \(y = \cos x\) убывает на интервале \([0; \pi]\).
Первая пара чисел: \(\cos \frac{7\pi}{20}\) и \(\cos \frac{\pi}{7}\).
Переведем дроби к общему знаменателю или десятичным дробям для удобства сравнения углов:
\[\frac{7\pi}{20} = \frac{7}{20}\pi = 0,35\pi\] \[\frac{\pi}{7} \approx \frac{1}{7}\pi \approx 0,1428\pi\]Сравним углы: \(0,35\pi\) и \(0,1428\pi\).
Очевидно, что \(0,35\pi > 0,1428\pi\), то есть \(\frac{7\pi}{20} > \frac{\pi}{7}\).
Оба угла находятся в первой четверти \((0; \frac{\pi}{2})\), где функция косинуса убывает. Это означает, что чем больше угол, тем меньше его косинус.
Так как \(\frac{7\pi}{20} > \frac{\pi}{7}\), то \(\cos \frac{7\pi}{20} < \cos \frac{\pi}{7}\).
Вторая пара чисел: \(\cos 83^\circ\) и \(\cos 13^\circ\).
Сравним углы: \(83^\circ\) и \(13^\circ\).
Очевидно, что \(83^\circ > 13^\circ\).
Оба угла находятся в первой четверти \((0^\circ; 90^\circ)\), где функция косинуса убывает.
Так как \(83^\circ > 13^\circ\), то \(\cos 83^\circ < \cos 13^\circ\).
Ответ:
\(\cos \frac{7\pi}{20} \quad \boxed{<} \quad \cos \frac{\pi}{7}\);
\(\cos 83^\circ \quad \boxed{<} \quad \cos 13^\circ\).
Задание 7/10
Условие задания: Осевым сечением цилиндра является квадрат, сторона которого равна 1 м. Вычисли площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Если осевое сечение является квадратом, это означает, что высота цилиндра равна его диаметру.
Пусть сторона квадрата равна \(a\). По условию \(a = 1\) м.
Значит, диаметр цилиндра \(D = a = 1\) м.
Радиус цилиндра \(R = \frac{D}{2} = \frac{1}{2} = 0,5\) м.
Высота цилиндра \(H = a = 1\) м.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
\[S_{бок} = 2\pi R H\]Подставим значения \(R\) и \(H\):
\[S_{бок} = 2\pi \cdot 0,5 \cdot 1\] \[S_{бок} = 1\pi\] \[S_{бок} = \pi\]Площадь боковой поверхности равна \(\pi\) квадратных метров.
Ответ: 1 \(\pi\) (\(\text{м}^2\)).
Задание 8/10
Условие задания: Высота конуса равна 4 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Вычислить объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 32 \(\text{см}^3\).
Решение:
Пусть \(H\) — высота исходного конуса, \(V\) — его объём.
Пусть \(h\) — высота меньшего конуса, \(v\) — его объём.
По условию:
- Высота исходного конуса \(H = 4\) см.
- Плоскость пересекает конус на расстоянии 2 см от вершины, то есть высота меньшего конуса \(h = 2\) см.
- Объём меньшего конуса \(v = 32\) \(\text{см}^3\).
Меньший конус подобен исходному конусу. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению высот:
\[k = \frac{h}{H} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:
\[\frac{v}{V} = k^3\]Подставим известные значения:
\[\frac{32}{V} = \left(\frac{1}{2}\right)^3\] \[\frac{32}{V} = \frac{1}{8}\]Чтобы найти \(V\), умножим обе части на \(8V\):
\[32 \cdot 8 = V\] \[V = 256\]Объём исходного конуса равен 256 \(\text{см}^3\).
Ответ: \(V = 256\) \(\text{см}^3\).
Задание 9/10
Условие задания: Полукруг вращается вокруг своего диаметра. Диаметр равен 18 дм. Вычисли площадь сферы.
Решение:
Когда полукруг вращается вокруг своего диаметра, образуется сфера.
Диаметр сферы \(D\) равен диаметру полукруга. По условию \(D = 18\) дм.
Радиус сферы \(R\) равен половине диаметра:
\[R = \frac{D}{2} = \frac{18}{2} = 9\] дм.Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
\[S = 4\pi R^2\]Подставим значение радиуса \(R = 9\):
\[S = 4\pi (9)^2\] \[S = 4\pi \cdot 81\] \[S = 324\pi\]Площадь сферы равна \(324\pi\) квадратных дециметров.
Ответ: 324 \(\pi\) \(\text{дм}^2\).
Задание 10/10
Условие задания: Для данного ряда чисел 28; 15; 10; 6; 34 составь таблицу отклонений от среднего и их квадратов. (Заполни пустые ячейки.)
Таблица:
| \(x_n - \bar{x}\) | 9,4 | 12,96 | -8,6 | &
Решите свою задачу прямо сейчасВведите текст задачи или загрузите фото — получите ответ мгновенно Выберите режим AI:
🚀 Pro v3
20 руб. • 99.9%
⚡ Lite v3
5 руб. • 95%
Ваш баланс:10 руб.
Пополнить
Задайте любой вопрос
Поддерживаются текст, фото и голосовой ввод
Бонус получен!
+20 ₽
Добавлено на ваш баланс
|