Решение неравенства (2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0

Решим неравенство: \[ (2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0 \] Шаг 1: Рассмотрим первый множитель \( (2x^2 + 3) \). Заметим, что \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного числа \( x \). Тогда \( 2x^2 \ge 0 \). Следовательно, \( 2x^2 + 3 \ge 3 \). Это означает, что выражение \( (2x^2 + 3) \) всегда положительно для любых действительных значений \( x \). Шаг 2: Поскольку первый множитель \( (2x^2 + 3) \) всегда положителен, то для того чтобы произведение \( (2x^2 + 3)(x + 4)^3 \) было больше нуля, необходимо, чтобы второй множитель \( (x + 4)^3 \) также был больше нуля. \[ (x + 4)^3 > 0 \] Шаг 3: Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства. Поскольку функция \( f(t) = t^3 \) является строго возрастающей, то знак неравенства сохраняется при извлечении кубического корня. \[ \sqrt[3]{(x + 4)^3} > \sqrt[3]{0} \] \[ x + 4 > 0 \] Шаг 4: Решим полученное линейное неравенство. Вычтем 4 из обеих частей неравенства: \[ x > -4 \] Шаг 5: Запишем ответ в виде интервала. Решением неравенства является интервал от -4 до плюс бесконечности, не включая -4. \[ x \in (-4; +\infty) \] Ответ: \[ x \in (-4; +\infty) \]