Задача 3. Решение системы неравенств
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} -12 + 3x < 0 \\ 9 - 4x > -23 \end{cases} \] Решим каждое неравенство по отдельности.Первое неравенство:
\[ -12 + 3x < 0 \] Перенесем числовое слагаемое в правую часть, изменив знак: \[ 3x < 12 \] Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется: \[ x < \frac{12}{3} \] \[ x < 4 \]Второе неравенство:
\[ 9 - 4x > -23 \] Перенесем числовое слагаемое в правую часть, изменив знак: \[ -4x > -23 - 9 \] \[ -4x > -32 \] Разделим обе части неравенства на -4. Так как -4 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: \[ x < \frac{-32}{-4} \] \[ x < 8 \]Нахождение общего решения системы:
Теперь у нас есть два условия для \(x\): 1. \(x < 4\) 2. \(x < 8\) Чтобы найти решение системы, нужно найти пересечение этих двух интервалов. Если \(x\) должен быть меньше 4, то он автоматически будет меньше 8. Таким образом, общее решение системы — это \(x < 4\).Запись решения в виде интервала:
Интервал \(x < 4\) записывается как \((-\infty; 4)\).Сопоставление с вариантами ответа:
Среди предложенных вариантов: 1) \((-\infty; 8)\) 2) \((-\infty; 4)\) 3) \((4; 8)\) 4) \((4; +\infty)\) Наше решение \((-\infty; 4)\) соответствует варианту 2.Ответ: 2
Задача 4. Распад радиоактивного изотопа
В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 400 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.Дано:
* Начальная масса изотопа А: \(m_0 = 400 \text{ мг}\) * Период полураспада (время, за которое распадается половина вещества): \(T_{1/2} = 9 \text{ минут}\) * Общее время распада: \(t = 36 \text{ минут}\)Найти:
* Массу образовавшегося изотопа Б через 36 минут.Решение:
1. Определим количество периодов полураспада: Количество периодов полураспада \(n\) равно общему времени, деленному на период полураспада: \[ n = \frac{t}{T_{1/2}} \] \[ n = \frac{36 \text{ минут}}{9 \text{ минут}} = 4 \] Значит, за 36 минут пройдет 4 периода полураспада. 2. Рассчитаем массу изотопа А, оставшуюся после 4 периодов полураспада: После каждого периода полураспада масса изотопа А уменьшается в 2 раза. * После 1-го периода (через 9 минут): \(m_1 = \frac{400}{2} = 200 \text{ мг}\) * После 2-го периода (через 18 минут): \(m_2 = \frac{200}{2} = 100 \text{ мг}\) * После 3-го периода (через 27 минут): \(m_3 = \frac{100}{2} = 50 \text{ мг}\) * После 4-го периода (через 36 минут): \(m_4 = \frac{50}{2} = 25 \text{ мг}\) Или можно использовать формулу: \[ m_t = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \] \[ m_t = 400 \text{ мг} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \] \[ m_t = 400 \text{ мг} \cdot \frac{1}{16} \] \[ m_t = \frac{400}{16} = 25 \text{ мг}\] Таким образом, через 36 минут останется 25 мг изотопа А. 3. Рассчитаем массу образовавшегося изотопа Б: Поскольку изотоп А преобразуется в изотоп Б без потери массы, то масса образовавшегося изотопа Б равна разнице между начальной массой изотопа А и массой изотопа А, оставшейся через 36 минут. \[ m_Б = m_0 - m_t \] \[ m_Б = 400 \text{ мг} - 25 \text{ мг} \] \[ m_Б = 375 \text{ мг}\]Ответ: 375