Решение задачи: Область определения функции y = √12x - 3x²

Вот решение задачи. Нам дана функция: \[y = \sqrt{12x - 3x^2}\] Для того чтобы функция была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть: \[12x - 3x^2 \ge 0\] Теперь решим это неравенство. Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки: \[3x(4 - x) \ge 0\] Найдем корни уравнения \(3x(4 - x) = 0\): \[3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4\] Эти корни делят числовую ось на три интервала: \((-\infty, 0)\), \((0, 4)\), \((4, +\infty)\). Проверим знак выражения \(3x(4 - x)\) на каждом интервале. 1. Интервал \((-\infty, 0)\): Возьмем, например, \(x = -1\). \(3(-1)(4 - (-1)) = -3(5) = -15\). \(-15 < 0\), значит, на этом интервале выражение отрицательно. 2. Интервал \((0, 4)\): Возьмем, например, \(x = 1\). \(3(1)(4 - 1) = 3(3) = 9\). \(9 > 0\), значит, на этом интервале выражение положительно. 3. Интервал \((4, +\infty)\): Возьмем, например, \(x = 5\). \(3(5)(4 - 5) = 15(-1) = -15\). \(-15 < 0\), значит, на этом интервале выражение отрицательно. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю (\(\ge 0\)). Это выполняется на интервале \([0, 4]\). Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{12x - 3x^2}\) — это отрезок \([0, 4]\). Ответ: Область определения функции: \([0, 4]\).