Решение задачи: сравнение периметров квадрата и прямоугольника из квадратов

Решение задачи: Дано: Количество квадратов: 8 Сторона каждого квадрата: 2 см Из этих восьми квадратов составили: 1. Новый квадрат 2. Прямоугольник Найти: Чей периметр больше: нового квадрата или прямоугольника, и на сколько сантиметров? Пошаговое решение: 1. Найдем площадь одного маленького квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле: \(S = a^2\), где \(a\) - сторона квадрата. \(S_{маленького\;квадрата} = 2^2 = 4\) см\(^2\). 2. Найдем общую площадь всех восьми квадратов. \(S_{общая} = 8 \times S_{маленького\;квадрата} = 8 \times 4 = 32\) см\(^2\). 3. Рассмотрим случай, когда из восьми квадратов составили новый квадрат. Если из восьми квадратов составили новый квадрат, это означает, что площадь этого нового квадрата равна общей площади всех маленьких квадратов. \(S_{нового\;квадрата} = 32\) см\(^2\). Чтобы найти сторону нового квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади. \(a_{нового\;квадрата} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\) см. Периметр нового квадрата вычисляется по формуле: \(P = 4a\). \(P_{нового\;квадрата} = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\) см. Приблизительное значение: \(16 \times 1.414 \approx 22.624\) см. 4. Рассмотрим случай, когда из восьми квадратов составили прямоугольник. Чтобы составить прямоугольник из 8 квадратов со стороной 2 см, можно расположить их по-разному. Наиболее распространенные варианты: а) В один ряд: 1 квадрат в ширину, 8 квадратов в длину. Ширина прямоугольника: \(1 \times 2 = 2\) см. Длина прямоугольника: \(8 \times 2 = 16\) см. Периметр прямоугольника: \(P = 2 \times (длина + ширина)\). \(P_{прямоугольника\;(1 \times 8)} = 2 \times (16 + 2) = 2 \times 18 = 36\) см. б) В два ряда: 2 квадрата в ширину, 4 квадрата в длину. Ширина прямоугольника: \(2 \times 2 = 4\) см. Длина прямоугольника: \(4 \times 2 = 8\) см. Периметр прямоугольника: \(P_{прямоугольника\;(2 \times 4)} = 2 \times (8 + 4) = 2 \times 12 = 24\) см. В задаче сказано "составили новый квадрат и прямоугольник". Это означает, что из одних и тех же 8 квадратов сначала составили квадрат, а потом из тех же 8 квадратов составили прямоугольник. Важно отметить, что из 8 одинаковых квадратов нельзя составить один большой квадрат, так как 8 не является полным квадратом (то есть \(\sqrt{8}\) не является целым числом). Возможно, в условии задачи подразумевается, что из 8 квадратов *можно* составить либо квадрат, либо прямоугольник, и нужно сравнить их периметры. Если же имеется в виду, что из 8 квадратов *составили* новый квадрат, то это возможно только если "новый квадрат" - это фигура, составленная из 4 квадратов, а "прямоугольник" - из оставшихся 4 квадратов. Но тогда это не "из восьми квадратов составили новый квадрат И прямоугольник", а "из восьми квадратов составили новый квадрат ИЗ ЧАСТИ И прямоугольник ИЗ ОСТАЛЬНОЙ ЧАСТИ". Предположим, что задача подразумевает, что из 8 квадратов *можно* составить либо один большой квадрат (если бы это было возможно), либо один большой прямоугольник. Так как из 8 квадратов нельзя составить один большой квадрат (потому что 8 не является полным квадратом), то формулировка "Из восьми квадратов со стороной 2 см составили новый квадрат" является некорректной, если речь идет о составлении одного большого квадрата из всех 8. Однако, если мы интерпретируем "новый квадрат" как фигуру, составленную из 4 маленьких квадратов (чтобы получить квадрат), а "прямоугольник" - из оставшихся 4 квадратов, то это уже другая задача. Давайте предположим, что задача имеет в виду, что из 8 квадратов *можно* составить фигуру, которая является квадратом, и фигуру, которая является прямоугольником, и мы должны сравнить их периметры. Но из 8 квадратов нельзя составить один большой квадрат. Возможно, в задаче опечатка, и имелось в виду, например, 9 квадратов (тогда можно составить квадрат 3x3) или 4 квадрата (тогда можно составить квадрат 2x2). Если строго следовать формулировке "Из восьми квадратов со стороной 2 см составили новый квадрат и прямоугольник", то это означает, что из всех 8 квадратов сначала сделали одну фигуру (квадрат), а потом из тех же 8 квадратов сделали другую фигуру (прямоугольник). Давайте перечитаем внимательно: "Из восьми квадратов со стороной 2 см составили новый квадрат и прямоугольник." Это может означать, что из 8 квадратов *сделали* две фигуры: один новый квадрат и один прямоугольник. Если так, то 8 квадратов нужно разделить на две группы. Чтобы из квадратов составить новый квадрат, количество квадратов должно быть полным квадратом (1, 4, 9, 16...). Из 8 квадратов можно составить квадрат из 4 квадратов (2x2). Тогда останется \(8 - 4 = 4\) квадрата. Из этих 4 квадратов можно составить прямоугольник (например, 1x4 или 2x2). Если так, то: а) Новый квадрат: состоит из 4 маленьких квадратов. Сторона нового квадрата: \(2 \times 2 = 4\) см. Периметр нового квадрата: \(P_{нового\;квадрата} = 4 \times 4 = 16\) см. б) Прямоугольник: состоит из оставшихся 4 маленьких квадратов. Можно составить прямоугольник 1x4 (длина 4*2=8 см, ширина 1*2=2 см). Периметр прямоугольника: \(P_{прямоугольника} = 2 \times (8 + 2) = 2 \times 10 = 20\) см. Или можно составить квадрат 2x2 (длина 2*2=4 см, ширина 2*2=4 см). Периметр квадрата: \(P_{квадрата} = 4 \times 4 = 16\) см. В этом случае, если прямоугольник 1x4, то его периметр 20 см, а периметр нового квадрата 16 см. Периметр прямоугольника больше на \(20 - 16 = 4\) см. Если прямоугольник 2x2, то его периметр 16 см, а периметр нового квадрата 16 см. Периметры равны. Такая интерпретация задачи кажется более логичной, учитывая, что из 8 квадратов нельзя составить один большой квадрат. Давайте выберем вариант, где из 4 квадратов сделали квадрат, а из оставшихся 4 квадратов сделали прямоугольник 1x4. Расчеты: 1. Сторона маленького квадрата: \(a = 2\) см. 2. Из 4 маленьких квадратов составили новый квадрат. Сторона нового квадрата: \(A = 2 \times a = 2 \times 2 = 4\) см. Периметр нового квадрата: \(P_{квадрата} = 4 \times A = 4 \times 4 = 16\) см. 3. Из оставшихся 4 маленьких квадратов составили прямоугольник. Наиболее вытянутый прямоугольник из 4 квадратов будет иметь размеры: Длина: \(L = 4 \times a = 4 \times 2 = 8\) см. Ширина: \(W = 1 \times a = 1 \times 2 = 2\) см. Периметр прямоугольника: \(P_{прямоугольника} = 2 \times (L + W) = 2 \times (8 + 2) = 2 \times 10 = 20\) см. Сравнение периметров: Периметр прямоугольника (20 см) больше периметра нового квадрата (16 см). Разница: \(20 - 16 = 4\) см. Ответ: Периметр прямоугольника больше периметра нового квадрата на 4 сантиметра. Если бы задача подразумевала, что из всех 8 квадратов сначала составили одну фигуру (квадрат), а потом из всех 8 квадратов составили другую фигуру (прямоугольник), то: - Составить квадрат из 8 квадратов невозможно. - Составить прямоугольник из 8 квадратов возможно (например, 2x8 или 4x4). Если 2x8: длина 16 см, ширина 2 см. Периметр \(2 \times (16+2) = 36\) см. Если 4x4: длина 8 см, ширина 4 см. Периметр \(2 \times (8+4) = 24\) см. В этом случае, если "новый квадрат" не может быть составлен, то сравнение невозможно. Поэтому, наиболее вероятная интерпретация - это разделение 8 квадратов на две группы для создания двух разных фигур. Окончательное решение, исходя из наиболее логичной интерпретации: 1. Определим размеры маленького квадрата. Сторона маленького квадрата \(a = 2\) см. 2. Составим "новый квадрат" из части маленьких квадратов. Чтобы из маленьких квадратов составить большой квадрат, их количество должно быть полным квадратом. Из 8 квадратов можно взять 4 квадрата, чтобы составить квадрат 2x2. Сторона нового квадрата будет равна \(2 \times a = 2 \times 2 = 4\) см. Периметр нового квадрата: \(P_{квадрата} = 4 \times 4 = 16\) см. 3. Составим "прямоугольник" из оставшихся маленьких квадратов. Осталось \(8 - 4 = 4\) маленьких квадрата. Из 4 маленьких квадратов можно составить прямоугольник. Наиболее вытянутый прямоугольник будет иметь размеры 1x4 маленьких квадратов. Длина прямоугольника: \(L = 4 \times a = 4 \times 2 = 8\) см. Ширина прямоугольника: \(W = 1 \times a = 1 \times 2 = 2\) см. Периметр прямоугольника: \(P_{прямоугольника} = 2 \times (L + W) = 2 \times (8 + 2) = 2 \times 10 = 20\) см. 4. Сравним периметры. Периметр прямоугольника \(P_{прямоугольника} = 20\) см. Периметр нового квадрата \(P_{квадрата} = 16\) см. \(20 > 16\), значит, периметр прямоугольника больше. 5. Найдем, на сколько сантиметров периметр прямоугольника больше. Разница: \(20 - 16 = 4\) см. Ответ: Периметр прямоугольника больше периметра нового квадрата на 4 сантиметра.