Решение:

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача:

Смешанное произведение векторов \(\vec{a} = \{3; 4; 2\}\), \(\vec{b} = \{4; -1; 0\}\) и \(\vec{c} = \{1; 0; 0\}\) равно...

Выберите один ответ:

1. 2
2. 12
3. 0
4. -2

Решение:

Смешанное произведение трех векторов \(\vec{a} = \{x_a; y_a; z_a\}\), \(\vec{b} = \{x_b; y_b; z_b\}\) и \(\vec{c} = \{x_c; y_c; z_c\}\) вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ x_c & y_c & z_c \end{vmatrix} \]

В нашем случае даны векторы:

\[ \vec{a} = \{3; 4; 2\} \] \[ \vec{b} = \{4; -1; 0\} \] \[ \vec{c} = \{1; 0; 0\} \]

Подставим координаты векторов в формулу определителя:

\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 4 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель третьего порядка. Удобнее всего разложить определитель по третьей строке, так как в ней много нулей:

\[ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 4 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \]

Упростим выражение, так как слагаемые с нулями обнулятся:

\[ (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим определитель второго порядка:

\[ \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (4 \cdot 0) - (2 \cdot (-1)) = 0 - (-2) = 2 \]

Таким образом, смешанное произведение векторов равно 2.

Проверка (разложение по первому столбцу):

\[ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 4 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \] \[ = 3 \cdot ((-1)\cdot 0 - 0 \cdot 0) - 4 \cdot (4 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + 1 \cdot (4 \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) \] \[ = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1 \cdot (0 - (-2)) \] \[ = 0 - 0 + 1 \cdot 2 = 2 \]

Результат совпадает.

Правильный ответ:

1. 2