Хорошо, давайте разберем это задание. Нам нужно установить соответствие между уравнениями и их графиками.
Вот список уравнений и их графиков:
Уравнения:
1. Уравнение \(y^2 - 3x = 1\)
2. Уравнение \(8 - xy = 0\)
3. Уравнение \(y = 2x^2 - 3\)
4. Уравнение \(x^2 + y^2 = 16\)
5. Уравнение \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\)
Графики (по порядку сверху вниз на изображении):
A. Парабола, ветви направлены вверх, вершина ниже оси \(Ox\).
B. Гипербола, ветви расположены во II и IV четвертях.
C. Окружность с центром в начале координат.
D. Парабола, ветви направлены вправо.
E. Окружность, центр смещен относительно начала координат.
Давайте проанализируем каждое уравнение и определим его тип графика.
1. Уравнение \(y^2 - 3x = 1\)
Перепишем его как \(y^2 = 3x + 1\). Это уравнение параболы, ветви которой направлены вдоль оси \(Ox\). Поскольку коэффициент при \(x\) положительный (3), ветви направлены вправо.
Соответствует графику D.
2. Уравнение \(8 - xy = 0\)
Перепишем его как \(xy = 8\), или \(y = \frac{8}{x}\). Это уравнение гиперболы. Поскольку произведение \(x\) и \(y\) положительно, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях. Однако на изображении есть гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях (график B). Возможно, в задании есть ошибка в изображении или в уравнении, либо я неверно интерпретирую график. Если бы было \(xy = -8\), то ветви были бы во II и IV четвертях. Давайте пока оставим этот пункт и вернемся к нему, если остальные совпадут.
Если предположить, что график B соответствует \(y = -\frac{k}{x}\) (то есть \(xy = -k\)), то это может быть \(8 - xy = 0 \Rightarrow xy = 8\). График B показывает ветви во II и IV четвертях, что соответствует \(xy < 0\). Если бы было \(xy = 8\), то ветви были бы в I и III четвертях.
Давайте посмотрим на другие варианты.
3. Уравнение \(y = 2x^2 - 3\)
Это уравнение параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\). Здесь \(a = 2\), что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \((0, -3)\), то есть ниже оси \(Ox\).
Соответствует графику A.
4. Уравнение \(x^2 + y^2 = 16\)
Это уравнение окружности с центром в начале координат \((0, 0)\) и радиусом \(r = \sqrt{16} = 4\).
Соответствует графику C.
5. Уравнение \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\)
Это уравнение окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\). Здесь \(h = 2\), \(k = -1\), и \(r = \sqrt{16} = 4\). Центр окружности находится в точке \((2, -1)\), то есть он смещен относительно начала координат.
Соответствует графику E.
Теперь вернемся к уравнению \(8 - xy = 0\).
Мы определили:
1. \(y^2 - 3x = 1\) —> D (Парабола, ветви вправо)
3. \(y = 2x^2 - 3\) —> A (Парабола, ветви вверх, вершина ниже \(Ox\))
4. \(x^2 + y^2 = 16\) —> C (Окружность, центр в начале координат)
5. \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\) —> E (Окружность, центр смещен)
Остался график B (гипербола, ветви во II и IV четвертях) и уравнение \(8 - xy = 0\).
Как я уже говорил, \(8 - xy = 0 \Rightarrow xy = 8\). График \(xy = 8\) имеет ветви в I и III четвертях.
График B соответствует уравнению вида \(xy = -k\), где \(k > 0\), например, \(xy = -8\).
Возможно, в задании есть опечатка в уравнении или в графике. Однако, если мы должны выбрать из предложенных вариантов, то по исключению, уравнение \(8 - xy = 0\) должно соответствовать графику B, даже если есть небольшое несоответствие в четвертях. В контексте школьных заданий иногда допускаются такие неточности, если остальные варианты однозначно определены.
Давайте запишем окончательное соответствие.
Решение:
Проанализируем каждое уравнение и определим тип его графика.
- Уравнение \(y^2 - 3x = 1\)
Перепишем уравнение в виде \(y^2 = 3x + 1\). Это уравнение параболы, ветви которой направлены вдоль оси \(Ox\). Поскольку коэффициент при \(x\) положительный (3), ветви параболы направлены вправо.
Соответствует графику D (Парабола, ветви направлены вправо).
- Уравнение \(8 - xy = 0\)
Перепишем уравнение в виде \(xy = 8\). Это уравнение гиперболы. Ветви гиперболы \(y = \frac{8}{x}\) расположены в I и III четвертях координатной плоскости. На изображении график B представляет гиперболу, ветви которой расположены во II и IV четвертях. Несмотря на это несоответствие, по методу исключения и учитывая, что это единственное уравнение гиперболы, мы сопоставим его с графиком B.
Соответствует графику B (Гипербола, ветви расположены во II и IV четвертях).
- Уравнение \(y = 2x^2 - 3\)
Это уравнение параболы вида \(y = ax^2 + bx + c\). Здесь коэффициент \(a = 2\), что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \((0, -3)\), то есть ниже оси \(Ox\).
Соответствует графику A (Парабола, ветви направлены вверх, вершина ниже оси \(Ox\)).
- Уравнение \(x^2 + y^2 = 16\)
Это уравнение окружности с центром в начале координат \((0, 0)\) и радиусом \(r = \sqrt{16} = 4\).
Соответствует графику C (Окружность с центром в начале координат).
- Уравнение \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\)
Это уравнение окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\). Здесь \(h = 2\), \(k = -1\), и \(r = \sqrt{16} = 4\). Центр окружности находится в точке \((2, -1)\), то есть он смещен относительно начала координат.
Соответствует графику E (Окружность, центр смещен относительно начала координат).
Окончательное соответствие:
- Уравнение \(y^2 - 3x = 1\) — График D
- Уравнение \(8 - xy = 0\) — График B
- Уравнение \(y = 2x^2 - 3\) — График A
- Уравнение \(x^2 + y^2 = 16\) — График C
- Уравнение \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\) — График E
