Задача 2. Даны множества \(A = \{x \mid x \in Z, -4 < x < 1\}\) и \(B = \{x \mid x \in Z, x < -2\}\). Задайте перечислением элементов множество:
1) \(A \cap B\)
2) \(A \setminus B\)
Решение:
Сначала запишем элементы множеств \(A\) и \(B\) в явном виде.
Множество \(A\) содержит целые числа \(x\), для которых \(-4 < x < 1\). Это означает, что \(x\) может быть \(-3, -2, -1, 0\).
Значит, \(A = \{-3, -2, -1, 0\}\).
Множество \(B\) содержит целые числа \(x\), для которых \(x < -2\). Это означает, что \(x\) может быть \(-3, -4, -5, \dots\).
Значит, \(B = \{\dots, -5, -4, -3\}\).
Теперь найдем требуемые множества:
1) \(A \cap B\) (пересечение множеств \(A\) и \(B\))
Пересечение множеств \(A \cap B\) состоит из элементов, которые принадлежат как множеству \(A\), так и множеству \(B\).
Элементы множества \(A\): \(-3, -2, -1, 0\).
Элементы множества \(B\): \(\dots, -5, -4, -3\).
Единственный общий элемент у этих двух множеств — это \(-3\).
Следовательно, \(A \cap B = \{-3\}\).
2) \(A \setminus B\) (разность множеств \(A\) и \(B\))
Разность множеств \(A \setminus B\) состоит из элементов, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(B\).
Элементы множества \(A\): \(-3, -2, -1, 0\).
Элементы множества \(B\): \(\dots, -5, -4, -3\).
Из элементов множества \(A\) исключаем те, которые есть в множестве \(B\). Элемент \(-3\) есть в \(A\) и есть в \(B\), поэтому его исключаем. Элементы \(-2, -1, 0\) есть в \(A\), но их нет в \(B\).
Следовательно, \(A \setminus B = \{-2, -1, 0\}\).
Ответ:
1) \(A \cap B = \{-3\}\)
2) \(A \setminus B = \{-2, -1, 0\}\)
Задача 3. На диаграмме Эйлера (рис. 3) изображены множества \(A, B\) и \(C\). Заштрихуйте множество:
1) \((A \cap C) \cup B\)
2) \((A \cup B) \setminus C\)
Решение:
Для решения этой задачи нужно представить диаграмму Эйлера и заштриховать соответствующие области. Поскольку я не могу рисовать, я опишу, какие области нужно заштриховать.
1) \((A \cap C) \cup B\)
Сначала найдем \((A \cap C)\). Это область, где множества \(A\) и \(C\) пересекаются. На диаграмме Эйлера это центральная область, где круги \(A\) и \(C\) накладываются друг на друга.
Затем к этой области нужно добавить (объединить с) множество \(B\). Это означает, что мы заштриховываем всю область, которая относится к кругу \(B\), а также область \((A \cap C)\).
Описание заштрихованной области:
- Вся область круга \(B\).
- Часть круга \(A\), которая пересекается с кругом \(C\) (это область, где \(A\) и \(C\) накладываются друг на друга).
Таким образом, заштрихованными будут:
- Вся область, принадлежащая только \(B\).
- Область, где \(B\) пересекается с \(A\).
- Область, где \(B\) пересекается с \(C\).
- Область, где \(B\) пересекается с \(A\) и \(C\) (центральная часть).
- Область, где \(A\) пересекается с \(C\), но не с \(B\).
Проще говоря, заштриховать нужно весь круг \(B\) и ту часть, где \(A\) и \(C\) пересекаются (независимо от \(B\)).
2) \((A \cup B) \setminus C\)
Сначала найдем \((A \cup B)\). Это объединение множеств \(A\) и \(B\), то есть вся область, которая принадлежит либо \(A\), либо \(B\), либо обоим одновременно. На диаграмме Эйлера это вся область, покрываемая кругами \(A\) и \(B\).
Затем из этой объединенной области нужно вычесть (разность) множество \(C\). Это означает, что мы заштриховываем все, что находится внутри \((A \cup B)\), но при этом не находится внутри круга \(C\).
Описание заштрихованной области:
- Вся область круга \(A\), которая не пересекается с кругом \(C\).
- Вся область круга \(B\), которая не пересекается с кругом \(C\).
- Часть области, где \(A\) и \(B\) пересекаются, но эта часть не пересекается с \(C\).
Таким образом, заштрихованными будут:
- Часть круга \(A\), которая находится вне круга \(C\).
- Часть круга \(B\), которая находится вне круга \(C\).
- Часть пересечения \(A\) и \(B\), которая находится вне круга \(C\).
Проще говоря, заштриховать нужно все, что находится внутри кругов \(A\) или \(B\), но при этом находится вне круга \(C\).