Решение задачи: Найти пути из А в И через Ж

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город И, проходящих через город Ж? Решение: Для решения этой задачи мы будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А. Пути из А: * В город А: 1 путь (начальная точка) * В город Б: 1 путь (А -> Б) * В город Г: 1 путь (А -> Г) * В город Д: 1 путь (А -> Д) Теперь подсчитаем пути до городов, которые ведут к Ж: * В город В: Пути из Б и Г. * Путей в В = (пути в Б) + (пути в Г) = 1 + 1 = 2 пути. * В город Е: Пути из Б и Д. * Путей в Е = (пути в Б) + (пути в Д) = 1 + 1 = 2 пути. Теперь подсчитаем пути до города Ж: * В город Ж: Пути из В, Е, Г. * Путей в Ж = (пути в В) + (пути в Е) + (пути в Г) = 2 + 2 + 1 = 5 путей. Теперь подсчитаем пути из Ж до И: * В город З: Пути из Ж. * Путей в З = (пути в Ж) = 5 путей. * В город И: Пути из Ж и З. * Путей в И = (пути в Ж) + (пути в З) = 5 + 5 = 10 путей. Ответ: Существует 10 различных путей из города А в город И, проходящих через город Ж. 2. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, В, С, D, E, F, G. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город G? Решение: Для решения этой задачи мы будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А. Пути из А: * В город А: 1 путь (начальная точка) * В город В: 1 путь (А -> В) * В город D: 1 путь (А -> D) * В город Е: 1 путь (А -> Е) Теперь подсчитаем пути до следующих городов: * В город С: Пути из В. * Путей в С = (пути в В) = 1 путь. * В город F: Пути из D и Е. * Путей в F = (пути в D) + (пути в Е) = 1 + 1 = 2 пути. Теперь подсчитаем пути до города G: * В город G: Пути из С, F. * Путей в G = (пути в С) + (пути в F) = 1 + 2 = 3 пути. Ответ: Существует 3 различных пути из города А в город G. 3. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город К? Решение: Для решения этой задачи мы будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А. Пути из А: * В город А: 1 путь (начальная точка) * В город Б: 1 путь (А -> Б) * В город Г: 1 путь (А -> Г) Теперь подсчитаем пути до следующих городов: * В город В: Пути из Б. * Путей в В = (пути в Б) = 1 путь. * В город Д: Пути из Б. * Путей в Д = (пути в Б) = 1 путь. * В город Е: Пути из В и Г. * Путей в Е = (пути в В) + (пути в Г) = 1 + 1 = 2 пути. * В город Ж: Пути из Г. * Путей в Ж = (пути в Г) = 1 путь. Теперь подсчитаем пути до следующих городов: * В город З: Пути из Д и Е. * Путей в З = (пути в Д) + (пути в Е) = 1 + 2 = 3 пути. * В город И: Пути из Е и Ж. * Путей в И = (пути в Е) + (пути в Ж) = 2 + 1 = 3 пути. Теперь подсчитаем пути до города К: * В город К: Пути из З и И. * Путей в К = (пути в З) + (пути в И) = 3 + 3 = 6 путей. Ответ: Существует 6 различных путей из города А в город К. 4. На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж, но не проходящих через город К? Решение: Для решения этой задачи мы будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А, с учетом условий. Сначала найдем пути из А до Ж: * В город А: 1 путь * В город Б: 1 путь (А -> Б) * В город Г: 1 путь (А -> Г) * В город Д: 1 путь (А -> Д) * В город В: Пути из Б и Г. * Путей в В = (пути в Б) + (пути в Г) = 1 + 1 = 2 пути. * В город Е: Пути из Б и Д. * Путей в Е = (пути в Б) + (пути в Д) = 1 + 1 = 2 пути. * В город Ж: Пути из В, Е, Г. * Путей в Ж = (пути в В) + (пути в Е) + (пути в Г) = 2 + 2 + 1 = 5 путей. Теперь найдем пути из Ж до М, исключая К. * Из Ж можно попасть в З и И. * Путей в З (из Ж) = 5 путей. * Путей в И (из Ж) = 5 путей. * Из З можно попасть в Л. * Путей в Л (из З) = 5 путей. * Из И можно попасть в Л и М. * Путей в Л (из И) = 5 путей. * Путей в М (из И) = 5 путей. * В город Л: Пути из З и И. * Путей в Л = (пути в З) + (пути в И) = 5 + 5 = 10 путей. * В город М: Пути из И и Л. * Путей в М = (пути в И) + (пути в Л) = 5 + 10 = 15 путей. Теперь учтем условие "не проходящих через город К". На схеме видно, что город К находится на пути из И в М. Если мы не проходим через К, то это означает, что мы не можем использовать дорогу И -> К -> М. Однако, на данной схеме нет прямого пути И -> К -> М. Город К является тупиковым для пути в М, если только нет других дорог из К. Если К является промежуточным пунктом, который ведет в М, то мы должны исключить все пути, проходящие через К. На данной схеме К не является обязательным пунктом для достижения М. Пути в М идут из И и Л. Если бы был путь И -> К, то мы бы его исключили. На схеме К находится после И, но не ведет в М. Поэтому, если К не является частью пути в М, то его исключение не влияет на количество путей. Если же подразумевается, что К может быть на пути, но его нужно избегать, то нужно внимательно посмотреть на схему. На схеме: Ж -> З -> Л -> М Ж -> И -> Л -> М Ж -> И -> М Город К находится после И, но не ведет в М. Поэтому, условие "не проходящих через город К" не влияет на количество путей из А в М, проходящих через Ж, так как К не является частью этих путей. Ответ: Существует 15 различных путей из города А в город М, проходящих через город Ж, но не проходящих через город К. 5. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, В, С, D, E, F, G, H. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город D? Решение: Для решения этой задачи мы будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А. Пути из А: * В город А: 1 путь (начальная точка) * В город В: 1 путь (А -> В) * В город F: 1 путь (А -> F) Теперь подсчитаем пути до следующих городов: * В город С: Пути из В. * Путей в С = (пути в В) = 1 путь. * В город Е: Пути из В и F. * Путей в Е = (пути в В) + (пути в F) = 1 + 1 = 2 пути. Теперь подсчитаем пути до города D: * В город D: Пути из С, Е, Н. * Сначала найдем пути в Н. * В город G: Пути из F. * Путей в G = (пути в F) = 1 путь. * В город Н: Пути из Е и G. * Путей в Н = (пути в Е) + (пути в G) = 2 + 1 = 3 пути. Теперь вернемся к D: * В город D: Пути из С, Е, Н. * Путей в D = (пути в С) + (пути в Е) + (пути в Н) = 1 + 2 + 3 = 6 путей. Ответ: Существует 6 различных путей из города А в город D.