Построение сечения параллелепипеда: решение задачи

Решим задачу по построению сечения параллелепипеда. Предположим, что у нас есть параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). а) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки \(P\), \(F\), \(M\) - середины ребер \(AA_1\), \(A_1B_1\) и \(DC\). Построение: 1. Отметим точки \(P\), \(F\), \(M\). * Точка \(P\) - середина ребра \(AA_1\). * Точка \(F\) - середина ребра \(A_1B_1\). * Точка \(M\) - середина ребра \(DC\). 2. Соединим точки, лежащие в одной грани. * Точки \(P\) и \(F\) лежат в грани \(AA_1B_1B\). Соединим их отрезком \(PF\). * Точка \(M\) лежит в грани \(ABCD\). 3. Найдем линии пересечения секущей плоскости с гранями параллелепипеда. * Через точку \(M\) проведем прямую, параллельную \(PF\). * Поскольку \(P\) - середина \(AA_1\), а \(F\) - середина \(A_1B_1\), то отрезок \(PF\) параллелен диагонали \(AB_1\) грани \(AA_1B_1B\). * Также \(PF\) параллелен \(A_1B\) (если смотреть на треугольник \(A_1AB_1\)). * В общем случае, для построения сечения, нам нужно найти точки пересечения секущей плоскости с другими ребрами. * Рассмотрим грань \(ABCD\). Точка \(M\) - середина \(DC\). * Рассмотрим грань \(AA_1D_1D\). Точка \(P\) - середина \(AA_1\). * Рассмотрим грань \(A_1B_1C_1D_1\). Точка \(F\) - середина \(A_1B_1\). * Построим прямую, проходящую через \(M\) и параллельную \(PF\). Это не всегда корректный шаг, так как плоскость может быть не параллельна. * Лучше использовать метод следов или метод параллельных сечений. * Метод параллельных сечений: * Плоскость \(P_1\) проходит через \(P\), \(F\), \(M\). * В грани \(AA_1B_1B\) есть отрезок \(PF\). * В грани \(ABCD\) есть точка \(M\). * В грани \(A_1B_1C_1D_1\) есть точка \(F\). * Построим прямую, проходящую через \(M\) и параллельную \(A_1B_1\). Пусть эта прямая пересекает \(BC\) в точке \(K\). Тогда \(MK\) - линия сечения в грани \(ABCD\). * Но это неверно, так как \(M\) не обязательно лежит на прямой, параллельной \(A_1B_1\). * Давайте использовать более систематический подход. * Соединим \(P\) и \(F\). Это отрезок сечения в грани \(AA_1B_1B\). * Соединим \(M\) с точкой \(F\). Это неверно, так как \(M\) и \(F\) не лежат в одной грани. * Соединим \(M\) с точкой \(P\). Это неверно, так как \(M\) и \(P\) не лежат в одной грани. * Найдем след плоскости на одной из граней. * Рассмотрим грань \(ABCD\). Точка \(M\) лежит на \(DC\). * Рассмотрим грань \(AA_1D_1D\). Точка \(P\) лежит на \(AA_1\). * Рассмотрим грань \(A_1B_1C_1D_1\). Точка \(F\) лежит на \(A_1B_1\). * Проведем прямую \(PF\). * Проведем прямую \(PM\). * Проведем прямую \(FM\). * Прямая \(PF\) лежит в плоскости \(AA_1B_1B\). * Прямая \(M\) лежит в плоскости \(ABCD\). * Прямая \(F\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1D_1\). * Найдем точку пересечения прямой \(PF\) с прямой \(AB\). * Продлим \(A_1A\) до пересечения с \(B_1B\). * Продлим \(PF\) до пересечения с \(AB\). * Пусть \(P\) - середина \(AA_1\), \(F\) - середина \(A_1B_1\). * В плоскости \(AA_1B_1B\) проведем прямую \(PF\). Она пересечет прямую \(AB\) в некоторой точке \(X\). * Треугольники \(A_1PF\) и \(APX\) подобны. * Так как \(P\) - середина \(AA_1\), то \(AP = PA_1\). * Если \(PF\) пересекает \(AB\) в \(X\), то \(X\) будет лежать на продолжении \(AB\). * Рассмотрим треугольник \(A_1AB_1\). \(P\) - середина \(AA_1\), \(F\) - середина \(A_1B_1\). Тогда \(PF\) - средняя линия треугольника \(A_1AB_1\), и \(PF \parallel AB_1\). * Это не совсем так. \(P\) - середина \(AA_1\), \(F\) - середина \(A_1B_1\). * В плоскости \(AA_1B_1B\), прямая \(PF\) пересекает \(AB\) в точке \(X\). * Рассмотрим систему координат. Пусть \(A=(0,0,0)\), \(B=(a,0,0)\), \(D=(0,b,0)\), \(A_1=(0,0,c)\). * Тогда \(P=(0,0,c/2)\). * \(A_1=(0,0,c)\), \(B_1=(a,0,c)\). \(F=(a/2,0,c)\). * \(D=(0,b,0)\), \(C=(a,b,0)\). \(M=(a/2,b,0)\). * Уравнение плоскости, проходящей через \(P(0,0,c/2)\), \(F(a/2,0,c)\), \(M(a/2,b,0)\). * Вектор \(PF = (a/2, 0, c/2)\). * Вектор \(PM = (a/2, b, -c/2)\). * Нормальный вектор плоскости \(n = PF \times PM\). * \(n_x = 0 \cdot (-c/2) - (c/2) \cdot b = -bc/2\). * \(n_y = (c/2) \cdot (a/2) - (a/2) \cdot (-c/2) = ac/4 + ac/4 = ac/2\). * \(n_z = (a/2) \cdot b - 0 \cdot (a/2) = ab/2\). * Нормальный вектор \(n = (-bc/2, ac/2, ab/2)\). Можно умножить на 2: \(n = (-bc, ac, ab)\). * Уравнение плоскости: \(-bc x + ac y + ab z + D = 0\). * Подставим точку \(P(0,0,c/2)\): \(-bc \cdot 0 + ac \cdot 0 + ab \cdot (c/2) + D = 0 \Rightarrow abc/2 + D = 0 \Rightarrow D = -abc/2\). * Уравнение плоскости: \(-bc x + ac y + ab z - abc/2 = 0\). * Разделим на \(abc\): \(-x/a + y/b + z/c - 1/2 = 0\). * Или \(x/a - y/b - z/c + 1/2 = 0\). * Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами. * Пересечение с \(AA_1\) (ось \(z\), \(x=0, y=0\)): \(0 - 0 - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow z/c = 1/2 \Rightarrow z = c/2\). Это точка \(P(0,0,c/2)\). * Пересечение с \(A_1B_1\) (плоскость \(z=c\), \(y=0\)): \(x/a - 0 - c/c + 1/2 = 0 \Rightarrow x/a - 1 + 1/2 = 0 \Rightarrow x/a = 1/2 \Rightarrow x = a/2\). Это точка \(F(a/2,0,c)\). * Пересечение с \(DC\) (плоскость \(z=0\), \(y=b\)): \(x/a - b/b - 0 + 1/2 = 0 \Rightarrow x/a - 1 + 1/2 = 0 \Rightarrow x/a = 1/2 \Rightarrow x = a/2\). Это точка \(M(a/2,b,0)\). * Найдем другие точки. * Пересечение с \(BB_1\) (прямая \(x=a, y=0\)): \(a/a - 0 - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow 1 - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow 3/2 = z/c \Rightarrow z = 3c/2\). Эта точка лежит вне ребра \(BB_1\) (так как \(z\) должно быть от \(0\) до \(c\)). Значит, плоскость не пересекает \(BB_1\). * Пересечение с \(CC_1\) (прямая \(x=a, y=b\)): \(a/a - b/b - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow 1 - 1 - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow -z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow z = c/2\). Пусть это точка \(N(a,b,c/2)\). * Пересечение с \(DD_1\) (прямая \(x=0, y=b\)): \(0 - b/b - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow -1 - z/c + 1/2 = 0 \Rightarrow -1/2 = z/c \Rightarrow z = -c/2\). Эта точка лежит вне ребра \(DD_1\). * Пересечение с \(BC\) (прямая \(x=a, z=0\)): \(a/a - y/b - 0 + 1/2 = 0 \Rightarrow 1 - y/b + 1/2 = 0 \Rightarrow 3/2 = y/b \Rightarrow y = 3b/2\). Вне ребра. * Пересечение с \(AD\) (прямая \(x=0, z=0\)): \(0 - y/b - 0 + 1/2 = 0 \Rightarrow y/b = 1/2 \Rightarrow y = b/2\). Пусть это точка \(K(0,b/2,0)\). * Пересечение с \(A_1D_1\) (прямая \(x=0, z=c\)): \(0 - y/b - c/c + 1/2 = 0 \Rightarrow -y/b - 1 + 1/2 = 0 \Rightarrow -y/b = 1/2 \Rightarrow y = -b/2\). Вне ребра. * Пересечение с \(B_1C_1\) (прямая \(x=a, z=c\)): \(a/a - y/b - c/c + 1/2 = 0 \Rightarrow 1 - y/b - 1 + 1/2 = 0 \Rightarrow -y/b + 1/2 = 0 \Rightarrow y = b/2\). Пусть это точка \(L(a,b/2,c)\). * Итак, точки сечения: * \(P\) на \(AA_1\) (середина). * \(F\) на \(A_1B_1\) (середина). * \(M\) на \(DC\) (середина). * \(N\) на \(CC_1\) (середина). * \(K\) на \(AD\) (середина). * \(L\) на \(B_1C_1\) (середина). * Соединяем эти точки: * \(PF\) (в грани \(AA_1B_1B\)). * \(FL\) (в грани \(A_1B_1C_1D_1\)). * \(LN\) (в грани \(BB_1C_1C\)). * \(NM\) (в грани \(DCC_1D_1\)). * \(MK\) (в грани \(ABCD\)). * \(KP\) (в грани \(AA_1D_1D\)). * Сечение - шестиугольник \(PFLNMK\). * Построение без координат: 1. Отметим точки \(P\), \(F\), \(M\). 2. Соединим \(P\) и \(F\). Это отрезок сечения в грани \(AA_1B_1B\). 3. Точка \(M\) - середина \(DC\). 4. В грани \(ABCD\), проведем прямую через \(M\) параллельно \(AD\). Пусть она пересекает \(BC\) в точке \(M'\). \(M'\) - середина \(BC\). 5. В грани \(AA_1D_1D\), проведем прямую через \(P\) параллельно \(AD\). Пусть она пересекает \(DD_1\) в точке \(P'\). \(P'\) - середина \(DD_1\). 6. Это неверный подход. * Правильный подход: 1. Соединим \(P\) и \(F\). Это отрезок сечения в грани \(AA_1B_1B\). 2. Точка \(M\) лежит в грани \(ABCD\). 3. Найдем след секущей плоскости на плоскости \(ABCD\). * Продлим \(PF\) до пересечения с прямой \(AB\). Пусть это точка \(X\). * В плоскости \(AA_1B_1B\), \(P\) - середина \(AA_1\), \(F\) - середина \(A_1B_1\). * Треугольник \(A_1AB_1\). \(PF\) - средняя линия, если \(P\) и \(F\) были бы серединами \(AA_1\) и \(A_1B_1\). * Рассмотрим треугольник \(A_1AB_1\). \(P\) - середина \(AA_1\). \(F\) - середина \(A_1B_1\). * Прямая \(PF\) параллельна \(AB_1\). * Прямая \(PF\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(X\). * Рассмотрим плоскость \(AA_1B_1B\). \(A_1=(0,c)\), \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(B_1=(a,c)\). * \(P=(0,c/2)\), \(F=(a/2,c)\). * Уравнение прямой \(PF\): \((y - c/2) / (c - c/2) = (x - 0) / (a/2 - 0)\). * \((y - c/2) / (c/2) = x / (a/2)\). * \(2(y - c/2) / c = 2x / a\). * \((2y - c) / c = 2x / a\). * \(a(2y - c) = 2cx\). * Чтобы найти \(X\) на \(AB\), положим \(y=0\). * \(a(-c) = 2cx \Rightarrow -ac = 2cx \Rightarrow x = -a/2\). * Значит, точка \(X\) находится на продолжении \(BA\) за точку \(A\). \(X = (-a/2, 0, 0)\). 4. Теперь у нас есть точка \(X\) на плоскости \(ABCD\) и точка \(M\) на плоскости \(ABCD\). * Прямая \(XM\) - это след секущей плоскости на плоскости \(ABCD\). * \(X(-a/2,0,0)\), \(M(a/2,b,0)\). * Прямая \(XM\) пересечет ребро \(AD\) (прямая \(x=0, z=0\)) в точке \(K\). * Уравнение прямой \(XM\): \((y - 0) / (b - 0) = (x - (-a/2)) / (a/2 - (-a/2))\). * \(y/b = (x + a/2) / a\). * Для \(K\) на \(AD\), \(x=0\): \(y/b = (a/2) / a = 1/2 \Rightarrow y = b/2\). * Значит, \(K\) - середина \(AD\). \(K(0,b/2,0)\). * Прямая \(XM\) пересечет ребро \(BC\) (прямая \(x=a, z=0\)) в точке \(M'\). * \(y/b = (a + a/2) / a = (3a/2) / a = 3/2 \Rightarrow y = 3b/2\). * Эта точка \(M'\) лежит вне ребра \(BC\). 5. Теперь у нас есть точки \(P\), \(F\), \(M\), \(K\). * \(P\) - середина \(AA_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\). * \(M\) - середина \(DC\). * \(K\) - середина \(AD\). * Отрезки сечения: \(PF\), \(MK\). * Соединим \(P\) и \(K\). Это отрезок сечения в грани \(AA_1D_1D\). * \(P\) - середина \(AA_1\), \(K\) - середина \(AD\). * Значит, \(PK\) - средняя линия треугольника \(AA_1D\). \(PK \parallel A_1D\). 6. Найдем другие точки сечения. * Через \(F\) (середина \(A_1B_1\)) проведем прямую, параллельную \(MK\). * \(MK\) - средняя линия треугольника \(ADC\). \(MK \parallel AC\). * Это неверно. \(M\) - середина \(DC\), \(K\) - середина \(AD\). \(MK\) - средняя линия треугольника \(ADC\). \(MK \parallel AC\). * В грани \(A_1B_1C_1D_1\), через \(F\) (середина \(A_1B_1\)) проведем прямую, параллельную \(AC\). * Пусть эта прямая пересекает \(B_1C_1\) в точке \(L\). * Так как \(F\) - середина \(A_1B_1\), то \(L\) должна быть серединой \(B_1C_1\). * Значит, \(L\) - середина \(B_1C_1\). * Отрезок \(FL\) - это отрезок сечения в грани \(A_1B_1C_1D_1\). 7. Теперь у нас есть \(P\), \(F\), \(M\), \(K\), \(L\). * \(P\) - середина \(AA_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\). * \(M\) - середина \(DC\). * \(K\) - середина \(AD\). * \(L\) - середина \(B_1C_1\). * Осталось найти точку на \(CC_1\). * Соединим \(M\) и \(L\). Это неверно, они не в одной грани. * Соединим \(L\) и \(C_1\). * Соединим \(M\) и \(C\). * В грани \(BB_1C_1C\), у нас есть точка \(L\) (середина \(B_1C_1\)). * В грани \(DCC_1D_1\), у нас есть точка \(M\) (середина \(DC\)). * Через \(M\) проведем прямую, параллельную \(PK\). * \(PK\) - средняя линия треугольника \(AA_1D\). \(PK \parallel A_1D\). * Это неверно. \(PK\) - средняя линия треугольника \(AA_1D\), если \(P\) - середина \(AA_1\) и \(K\) - середина \(AD\). Тогда \(PK \parallel A_1D\). * В грани \(DCC_1D_1\), через \(M\) (середина \(DC\)) проведем прямую, параллельную \(A_1D\). * Пусть эта прямая пересекает \(CC_1\) в точке \(N\). * Так как \(M\) - середина \(DC\), то \(N\) должна быть серединой \(CC_1\). * Значит, \(N\) - середина \(CC_1\). * Отрезок \(MN\) - это отрезок сечения в грани \(DCC_1D_1\). 8. Теперь у нас есть \(P\), \(F\), \(M\), \(K\), \(L\), \(N\). * \(P\) - середина \(AA_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\). * \(L\) - середина \(B_1C_1\). * \(N\) - середина \(CC_1\). * \(M\) - середина \(DC\). * \(K\) - середина \(AD\). * Соединим \(P\) с \(K\). * Соединим \(K\) с \(M\). * Соединим \(M\) с \(N\). * Соединим \(N\) с \(L\). * Соединим \(L\) с \(F\). * Соединим \(F\) с \(P\). * Получаем шестиугольник \(PFLNMK\). * Проверка параллельности сторон: * \(PF\) - средняя линия треугольника \(A_1AB_1\). \(PF \parallel AB_1\). * \(MK\) - средняя линия треугольника \(ADC\). \(MK \parallel AC\). * \(LN\) - средняя линия треугольника \(B_1C_1C\). \(LN \parallel B_1C\). * \(KP\) - средняя линия треугольника \(AA_1D\). \(KP \parallel A_1D\). * \(FL\) - средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\). \(FL \parallel A_1C_1\). * \(NM\) - средняя линия треугольника \(DCC_1\). \(NM \parallel DC_1\). * Это не совсем так. * \(P\) - середина \(AA_1\). \(K\) - середина \(AD\). \(PK\) - средняя линия треугольника \(AA_1D\). \(PK \parallel A_1D\). * \(N\) - середина \(CC_1\). \(M\) - середина \(DC\). \(NM\) - средняя линия треугольника \(DCC_1\). \(NM \parallel DC_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\). \(L\) - середина \(B_1C_1\). \(FL\) - средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\). \(FL \parallel A_1C_1\). * \(P\) - середина \(AA_1\). \(F\) - середина \(A_1B_1\). \(PF\) - средняя линия треугольника \(A_1AB_1\). \(PF \parallel AB_1\). * \(K\) - середина \(AD\). \(M\) - середина \(DC\). \(KM\) - средняя линия треугольника \(ADC\). \(KM \parallel AC\). * \(L\) - середина \(B_1C_1\). \(N\) - середина \(CC_1\). \(LN\) - средняя линия треугольника \(B_1C_1C\). \(LN \parallel B_1C\). * Сечение \(PFLNMK\) - это шестиугольник. б) Построить точку пересечения диагонали \(BD_1\) с секущей плоскостью. 1. Диагональ \(BD_1\) соединяет вершину \(B\) с вершиной \(D_1\). 2. Найдем плоскость, содержащую диагональ \(BD_1\) и пересекающую секущую плоскость. * Рассмотрим диагональное сечение \(BDD_1B_1\). * В этой плоскости лежит диагональ \(BD_1\). * Найдем точки пересечения секущей плоскости с плоскостью \(BDD_1B_1\). * Точка \(K\) - середина \(AD\). Точка \(M\) - середина \(DC\). * Отрезок \(KM\) лежит в плоскости \(ABCD\). * Точка \(P\) - середина \(AA_1\). Точка \(N\) - середина \(CC_1\). * Отрезок \(PN\) не лежит в плоскости \(BDD_1B_1\). * Используем метод вспомогательных плоскостей. * Рассмотрим плоскость \(BDD_1B_1\). * Найдем точки пересечения секущей плоскости с ребрами, лежащими в плоскости \(BDD_1B_1\). * Ребро \(DD_1\): секущая плоскость не пересекает \(DD_1\) внутри ребра. * Ребро \(BB_1\): секущая плоскость не пересекает \(BB_1\) внутри ребра. * Ребро \(BD\): секущая плоскость пересекает \(BD\). * В плоскости \(ABCD\), прямая \(KM\) - это линия сечения. * Диагональ \(BD\) лежит в плоскости \(ABCD\). * Найдем точку пересечения \(KM\) и \(BD\). Пусть это точка \(O\). * \(K\) - середина \(AD\), \(M\) - середина \(DC\). \(KM\) - средняя линия треугольника \(ADC\). * \(KM \parallel AC\). * Точка \(O\) - это точка пересечения \(KM\) и \(BD\). * В треугольнике \(ADC\), \(KM\) - средняя линия. * В треугольнике \(ABD\), \(K\) - середина \(AD\). * В треугольнике \(BCD\), \(M\) - середина \(DC\). * Рассмотрим треугольник \(BCD\). \(M\) - середина \(DC\). * Рассмотрим треугольник \(ABD\). \(K\) - середина \(AD\). * Точка \(O\) - это точка пересечения медианы \(BD\) с отрезком \(KM\). * В треугольнике \(ADC\), \(KM\) - средняя линия. * Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся пополам. * Диагональ \(BD\) пересекает \(AC\) в точке \(O_{AC}\) (центр грани \(ABCD\)). * \(KM\) параллельна \(AC\). * Треугольник \(DOK\) подобен треугольникам \(DO_{AC}A\). * \(D, K, M\) - середины. * Точка \(O\) - это точка пересечения \(KM\) и \(BD\). * В треугольнике \(ADC\), \(KM\) - средняя линия. * Рассмотрим треугольник \(DBC\). \(M\) - середина \(DC\). * Рассмотрим треугольник \(DAB\). \(K\) - середина \(DA\). * Точка \(O\) делит \(BD\) в отношении \(1:1\). * Нет, это не так. \(KM\) - средняя линия треугольника \(ADC\). * \(KM\) пересекает \(BD\). * Рассмотрим треугольник \(DBC\). \(M\) - середина \(DC\). * Рассмотрим треугольник \(DAB\). \(K\) - середина \(DA\). * Точка \(O\) - это точка пересечения \(KM\) и \(BD\). * В треугольнике \(ADC\), \(KM\) - средняя линия, \(KM \parallel AC\). * Диагональ \(BD\) пересекает \(AC\) в точке \(O_{ABCD}\) (центр грани \(ABCD\)). * Точка \(O\) лежит на \(BD\). * Рассмотрим треугольник \(D O_{ABCD} C\). * \(M\) - середина \(DC\). * Прямая \(KM\) параллельна \(AC\). * Значит, \(O\) - это середина \(DO_{ABCD}\). * То есть \(DO = OO_{ABCD}\). * А \(DO_{ABCD} = O_{ABCD}B\). * Значит, \(DO = OO_{ABCD} = O_{ABCD}B\). * Точка \(O\) делит \(BD\) в отношении \(1:2\), считая от \(D\). \(DO:OB = 1:2\). * Ребро \(B_1D_1\): секущая плоскость пересекает \(B_1D_1\). * В плоскости \(A_1B_1C_1D_1\), прямая \(FL\) - это линия сечения. * Диагональ \(B_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1D_1\). * Найдем точку пересечения \(FL\) и \(B_1D_1\). Пусть это точка \(O_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\), \(L\) - середина \(B_1C_1\). \(FL\) - средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\). * \(FL \parallel A_1C_1\). * Аналогично, точка \(O_1\) делит \(B_1D_1\) в отношении \(1:2\), считая от \(B_1\). \(B_1O_1:O_1D_1 = 1:2\). * Теперь у нас есть две точки, лежащие в секущей плоскости и в плоскости \(BDD_1B_1\): \(O\) и \(O_1\). * Прямая \(OO_1\) - это линия пересечения секущей плоскости с плоскостью \(BDD_1B_1\). * Точка пересечения диагонали \(BD_1\) с секущей плоскостью будет точкой пересечения \(BD_1\) и \(OO_1\). Пусть это точка \(S\). * Рассмотрим плоскость \(BDD_1B_1\). * \(B=(a,0,0)\), \(D=(0,b,0)\), \(D_1=(0,b,c)\), \(B_1=(a,0,c)\). * Диагональ \(BD_1\). * \(O\) делит \(BD\) в отношении \(1:2\) от \(D\). * \(D=(0,b,0)\), \(B=(a,0,0)\). * \(O = (2D + B)/3 = (2(0,b,0) + (a,0,0))/3 = (a/3, 2b/3, 0)\). * \(O_1\) делит \(B_1D_1\) в отношении \(1:2\) от \(B_1\). * \(B_1=(a,0,c)\), \(D_1=(0,b,c)\). * \(O_1 = (2B_1 + D_1)/3 = (2(a,0,c) + (0,b,c))/3 = (2a/3, b/3, c)\). * Уравнение прямой \(BD_1\): * Вектор \(BD_1 = D_1 - B = (0-a, b-0, c-0) = (-a, b, c)\). * Параметрическое уравнение: \(L(t) = B + t \cdot BD_1 = (a,0,0) + t(-a,b,c) = (a - at, bt, ct)\). * Уравнение прямой \(OO_1\): * Вектор \(OO_1 = O_1 - O = (2a/3 - a/3, b/3 - 2b/3, c - 0) = (a/3, -b/3, c)\). * Параметрическое уравнение: \(L'(s) = O + s \cdot OO_1 = (a/3, 2b/3, 0) + s(a/3, -b/3, c) = (a/3 + sa/3, 2b/3 - sb/3, sc)\). * Найдем точку пересечения \(S\). * \(a - at = a/3 + sa/3\) * \(bt = 2b/3 - sb/3\) * \(ct = sc\) * Из третьего уравнения: \(t = s\). * Подставим \(s=t\) во второе уравнение: \(bt = 2b/3 - tb/3\). * Разделим на \(b\) (если \(b \ne 0\)): \(t = 2/3 - t/3\). * \(t + t/3 = 2/3\). * \(4t/3 = 2/3\). * \(4t = 2 \Rightarrow t = 1/2\). * Значит, \(s = t = 1/2\). * Подставим \(t=1/2\) в уравнение \(BD_1\): * \(S = (a - a(1/2), b(1/2), c(1/2)) = (a/2, b/2, c/2)\). * Это точка - центр параллелепипеда. * Проверим, лежит ли эта точка на секущей плоскости. * Уравнение секущей плоскости: \(x/a - y/b - z/c + 1/2 = 0\). * Подставим \(S(a/2, b/2, c/2)\): * \((a/2)/a - (b/2)/b - (c/2)/c + 1/2 = 0\). * \(1/2 - 1/2 - 1/2 + 1/2 = 0\). * \(0 = 0\). * Значит, точка \(S(a/2, b/2, c/2)\) - центр параллелепипеда - является точкой пересечения диагонали \(BD_1\) с секущей плоскостью. Ответ: а) Сечение параллелепипеда - это шестиугольник \(PFLNMK\), где: * \(P\) - середина ребра \(AA_1\). * \(F\) - середина ребра \(A_1B_1\). * \(L\) - середина ребра \(B_1C_1\). * \(N\) - середина ребра \(CC_1\). * \(M\) - середина ребра \(DC\). * \(K\) - середина ребра \(AD\). б) Точка пересечения диагонали \(BD_1\) с секущей плоскостью - это центр параллелепипеда. Построение для школьника: а) Построение сечения: 1. Начертите параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). 2. Отметьте точки \(P\), \(F\), \(M\): * \(P\) - середина \(AA_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\). * \(M\) - середина \(DC\). 3. Соедините точки \(P\) и \(F\). Это первый отрезок сечения. 4. Найдите точку \(K\) на ребре \(AD\). * В плоскости \(ABCD\), точка \(M\) - середина \(DC\). * Продлите отрезок \(PF\) до пересечения с прямой \(AB\). Пусть эта точка будет \(X\). (Для этого нужно продлить \(A_1A\) и \(B_1B\) и рассмотреть плоскость \(AA_1B_1B\). \(P\) - середина \(AA_1\), \(F\) - середина \(A_1B_1\). Прямая \(PF\) пересечет прямую \(AB\) в точке \(X\), которая будет лежать на продолжении \(BA\) за точку \(A\), причем \(AX = AB/2\)). * Соедините точку \(X\) с точкой \(M\). Прямая \(XM\) - это след секущей плоскости на плоскости \(ABCD\). * Прямая \(XM\) пересечет ребро \(AD\) в точке \(K\). (Точка \(K\) будет серединой \(AD\)). 5. Соедините \(P\) и \(K\). Это второй отрезок сечения. 6. Соедините \(K\) и \(M\). Это третий отрезок сечения. 7. Найдите точку \(N\) на ребре \(CC_1\). * В плоскости \(DCC_1D_1\), через точку \(M\) (середину \(DC\)) проведите прямую, параллельную \(PK\). (Поскольку \(PK\) соединяет середины \(AA_1\) и \(AD\), то \(PK \parallel A_1D\). Значит, нужно провести прямую через \(M\) параллельно \(A_1D\)). * Эта прямая пересечет ребро \(CC_1\) в точке \(N\). (Точка \(N\) будет серединой \(CC_1\)). 8. Соедините \(M\) и \(N\). Это четвертый отрезок сечения. 9. Найдите точку \(L\) на ребре \(B_1C_1\). * В плоскости \(BB_1C_1C\), через точку \(N\) (середину \(CC_1\)) проведите прямую, параллельную \(PF\). (Поскольку \(PF\) соединяет середины \(AA_1\) и \(A_1B_1\), то \(PF \parallel AB_1\). Значит, нужно провести прямую через \(N\) параллельно \(AB_1\)). * Эта прямая пересечет ребро \(B_1C_1\) в точке \(L\). (Точка \(L\) будет серединой \(B_1C_1\)). 10. Соедините \(N\) и \(L\). Это пятый отрезок сечения. 11. Соедините \(L\) и \(F\). Это шестой отрезок сечения. 12. Полученный шестиугольник \(PFLNMK\) - искомое сечение. б) Построение точки пересечения диагонали \(BD_1\) с секущей плоскостью: 1. Начертите диагональ \(BD_1\). 2. Рассмотрите плоскость диагонального сечения \(BDD_1B_1\). 3. Найдите точку пересечения отрезка сечения \(KM\) с диагональю \(BD\). Пусть это будет точка \(O\). * \(K\) - середина \(AD\), \(M\) - середина \(DC\). \(KM\) - средняя линия треугольника \(ADC\). * Точка \(O\) делит диагональ \(BD\) в отношении \(1:2\), считая от вершины \(D\). То есть \(DO = 1/3 BD\). 4. Найдите точку пересечения отрезка сечения \(FL\) с диагональю \(B_1D_1\). Пусть это будет точка \(O_1\). * \(F\) - середина \(A_1B_1\), \(L\) - середина \(B_1C_1\). \(FL\) - средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\). * Точка \(O_1\) делит диагональ \(B_1D_1\) в отношении \(1:2\), считая от вершины \(B_1\). То есть \(B_1O_1 = 1/3 B_1D_1\). 5. Соедините точки \(O\) и \(O_1\). Прямая \(OO_1\) лежит в секущей плоскости и в плоскости \(BDD_1B_1\). 6. Точка пересечения прямой \(OO_1\) с диагональю \(BD_1\) будет искомой точкой \(S\). 7. Эта точка \(S\) является центром параллелепипеда (точкой пересечения всех его диагоналей).