Решение задачи №6: Действия с дробями

Примеры: РЕШУ ОГЭ, сайт ФИПИ, любые открытые источники.

№6 - Действия с дробями.

Знать: Что такое дробь, виды дробей, свойства дробей, правила счета с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление).

Что такое дробь?

Дробь – это число, которое представляет собой часть целого или отношение двух чисел. Она состоит из числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число), разделённых дробной чертой.

Например: \( \frac{3}{4} \), где 3 – числитель, 4 – знаменатель.

Виды дробей:

1. Обыкновенные дроби: \( \frac{a}{b} \), где \(a\) и \(b\) – целые числа, \(b \neq 0\).
2. Правильные дроби: числитель меньше знаменателя. Например: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{5} \).
3. Неправильные дроби: числитель больше или равен знаменателю. Например: \( \frac{5}{3}, \frac{7}{7} \).
4. Смешанные числа: состоят из целой и дробной части. Например: \( 1\frac{1}{2} \).
5. Десятичные дроби: дроби, знаменатель которых является степенью числа 10. Например: \( 0.5 = \frac{5}{10}, 0.25 = \frac{25}{100} \).

Свойства дробей:

1. Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Например: \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} \).
2. Сокращение дробей: Деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Например: \( \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} \).

Правила счета с дробями:

1. Сложение и вычитание:
   • С одинаковыми знаменателями: \( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \).
   • С разными знаменателями: Привести дроби к общему знаменателю, затем сложить или вычесть числители. Например: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
2. Умножение: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \).
3. Деление: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \). (Деление заменяется умножением на обратную дробь).

№7 - координатная прямая.

Знать: Что такое координатная прямая.

Уметь: Приблизительно понимать, где находится число на прямой.

Что такое координатная прямая?

Координатная прямая – это прямая, на которой выбрана начальная точка (начало отсчета, обычно 0), задано положительное направление (обычно вправо) и выбран единичный отрезок (расстояние между 0 и 1).

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное число – её координата. И наоборот, каждому числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Как понимать, где находится число на прямой:

1. Положительные числа находятся справа от нуля. Чем больше число, тем дальше оно от нуля вправо.
2. Отрицательные числа находятся слева от нуля. Чем меньше число (больше его абсолютное значение), тем дальше оно от нуля влево.
3. Дроби и десятичные числа располагаются между целыми числами. Например, \( 0.5 \) находится ровно посередине между 0 и 1. \( -2.3 \) находится между \( -2 \) и \( -3 \), ближе к \( -2 \).

№8 - Действия со степенями.

Знать: свойства степеней и корней.

Свойства степеней:

Пусть \(a\) и \(b\) – любые числа, \(m\) и \(n\) – целые числа.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), при \( a \neq 0 \).
3. Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
4. Возведение произведения в степень: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \).
5. Возведение дроби в степень: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \), при \( b \neq 0 \).
6. Нулевая степень: \( a^0 = 1 \), при \( a \neq 0 \).
7. Отрицательная степень: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), при \( a \neq 0 \).
8. Степень с показателем 1: \( a^1 = a \).

Свойства корней (квадратных корней):

Пусть \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\).

1. Корень из произведения: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \).
2. Корень из дроби: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \), при \( b > 0 \).
3. Возведение корня в квадрат: \( (\sqrt{a})^2 = a \).
4. Корень из квадрата числа: \( \sqrt{a^2} = |a| \). Если \(a \ge 0\), то \( \sqrt{a^2} = a \).

Связь корней и степеней: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

№9 - уравнения.

Знать: Виды уравнений и методы их решения.

Что такое уравнение?

Уравнение – это математическое равенство, содержащее неизвестную переменную (обычно обозначаемую \(x\)), значение которой нужно найти. Решить уравнение – значит найти все значения переменной, при которых равенство верно.

Виды уравнений и методы их решения:

1. Линейные уравнения:

   Вид: \( ax + b = 0 \), где \(a\) и \(b\) – числа, \(a \neq 0\).

   Метод решения: Перенести слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа – в другую. Затем разделить обе части уравнения на коэффициент при \(x\).

   Пример: \( 2x + 4 = 10 \)

   \( 2x = 10 - 4 \)

   \( 2x = 6 \)

   \( x = \frac{6}{2} \)

   \( x = 3 \)

2. Квадратные уравнения:

   Вид: \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \(a, b, c\) – числа, \(a \neq 0\).

   Методы решения:

   • Через дискриминант:

     Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \).

     • Если \( D > 0 \), то два корня: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
     • Если \( D = 0 \), то один корень: \( x = \frac{-b}{2a} \).
     • Если \( D < 0 \), то нет действительных корней.
   • Теорема Виета: Для приведенного квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \):

     \( x_1 + x_2 = -p \)

     \( x_1 \cdot x_2 = q \)

     Используется для подбора корней или проверки.

   • Неполные квадратные уравнения:
     • Если \( b = 0 \): \( ax^2 + c = 0 \Rightarrow ax^2 = -c \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} \). Если \( -\frac{c}{a} \ge 0 \), то \( x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \).
     • Если \( c = 0 \): \( ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0 \). Тогда \( x = 0 \) или \( ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \).
3. Рациональные уравнения:

   Уравнения, содержащие дроби, в знаменателях которых есть переменная.

   Метод решения: Привести все дроби к общему знаменателю, затем приравнять числитель к нулю, учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю.

   Пример: \( \frac{x+1}{x-2} = 3 \)

   Умножим обе части на \( (x-2) \), при условии \( x \neq 2 \):

   \( x+1 = 3(x-2) \)

   \( x+1 = 3x - 6 \)

   \( 1+6 = 3x - x \)

   \( 7 = 2x \)

   \( x = \frac{7}{2} = 3.5 \)

   Проверяем: \( 3.5 \neq 2 \), значит, корень подходит.

№10 - Теория вероятностей.

Знать: Формулу для подсчета вероятностей, свойства вероятностей.

Что такое вероятность?

Вероятность – это мера возможности наступления какого-либо события. Она выражается числом от 0 до 1 (или в процентах от 0% до 100%).

Формула для подсчета вероятностей (классическое определение):

Если все исходы равновероятны, то вероятность события \(A\) вычисляется по формуле:

\[ P(A) = \frac{m}{n} \]

где:

• \( P(A) \) – вероятность события \(A\).
• \( m \) – число благоприятных исходов (исходов, при которых событие \(A\) наступает).
• \( n \) – общее число всех возможных равновероятных исходов.

Пример: В урне 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вытащить красный шар?

Общее число исходов \( n = 5 + 3 = 8 \).

Число благоприятных исходов (вытащить красный шар) \( m = 5 \).

Вероятность \( P(\text{красный}) = \frac{5}{8} \).

Свойства вероятностей:

1. Вероятность любого события находится в диапазоне от 0 до 1: \( 0 \le P(A) \le 1 \).
2. Вероятность достоверного события (которое обязательно произойдет) равна 1. Например, вероятность того, что при броске монеты выпадет либо орел, либо решка.
3. Вероятность невозможного события (которое никогда не произойдет) равна 0. Например, вероятность того, что при броске обычного кубика выпадет 7.
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Если \(A\) – событие, а \( \bar{A} \) – противоположное событие (событие, что \(A\) не произойдет), то \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
5. Вероятность суммы двух несовместных событий (которые не могут произойти одновременно) равна сумме их вероятностей: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \).
6. Вероятность суммы двух совместных событий: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \), где \( P(A \cap B) \) – вероятность одновременного наступления событий \(A\) и \(B\).

№12 - смотрим №9.

Это означает, что для решения задач под номером 12 нужно использовать знания и методы, описанные в пункте №9, то есть, связанные с уравнениями.