Решение задачи: Найти координаты точек C и D

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задание №3. а) Найдите координаты точки C, если \(\vec{AC}(-3; -8; 7)\) и \(A(5; -4; 6)\). б) Найдите координаты точки D, если \(\vec{DB}(11; -4; -3)\) и \(B(-2; 7; -5)\). Решение: а) Для нахождения координат точки C воспользуемся формулой: \(\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A)\) Нам даны: \(\vec{AC}(-3; -8; 7)\) \(A(5; -4; 6)\) Подставим известные значения: \(x_C - 5 = -3\) \(y_C - (-4) = -8\) \(z_C - 6 = 7\) Решим каждое уравнение: \(x_C = -3 + 5\) \(x_C = 2\) \(y_C + 4 = -8\) \(y_C = -8 - 4\) \(y_C = -12\) \(z_C = 7 + 6\) \(z_C = 13\) Таким образом, координаты точки C: \(C(2; -12; 13)\). б) Для нахождения координат точки D воспользуемся формулой: \(\vec{DB} = (x_B - x_D; y_B - y_D; z_B - z_D)\) Нам даны: \(\vec{DB}(11; -4; -3)\) \(B(-2; 7; -5)\) Подставим известные значения: \(-2 - x_D = 11\) \(7 - y_D = -4\) \(-5 - z_D = -3\) Решим каждое уравнение: \(-x_D = 11 + 2\) \(-x_D = 13\) \(x_D = -13\) \(-y_D = -4 - 7\) \(-y_D = -11\) \(y_D = 11\) \(-z_D = -3 + 5\) \(-z_D = 2\) \(z_D = -2\) Таким образом, координаты точки D: \(D(-13; 11; -2)\). Задание №4. Для решения используем формулу длины вектора: \(|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2}\) а) По заданному \(|\vec{a}| = 9\) и \(\vec{a}(7; -4; z)\). Найдите координату z. Решение: Подставим известные значения в формулу: \(9 = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + z^2}\) Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(9^2 = 7^2 + (-4)^2 + z^2\) \(81 = 49 + 16 + z^2\) \(81 = 65 + z^2\) \(z^2 = 81 - 65\) \(z^2 = 16\) Извлечем квадратный корень: \(z = \pm\sqrt{16}\) \(z = \pm 4\) Таким образом, координата z может быть \(4\) или \(-4\). б) По заданному \(|\vec{a}| = \sqrt{69}\) и \(\vec{a}(x; -1; 8)\). Найдите координату x. Решение: Подставим известные значения в формулу: \(\sqrt{69} = \sqrt{x^2 + (-1)^2 + 8^2}\) Возведем обе части в квадрат: \(69 = x^2 + 1 + 64\) \(69 = x^2 + 65\) \(x^2 = 69 - 65\) \(x^2 = 4\) Извлечем квадратный корень: \(x = \pm\sqrt{4}\) \(x = \pm 2\) Таким образом, координата x может быть \(2\) или \(-2\). в) По заданному \(|\vec{a}| = \sqrt{70}\) и \(\vec{a}(-3; y; -5)\). Найдите координату y. Решение: Подставим известные значения в формулу: \(\sqrt{70} = \sqrt{(-3)^2 + y^2 + (-5)^2}\) Возведем обе части в квадрат: \(70 = 9 + y^2 + 25\) \(70 = 34 + y^2\) \(y^2 = 70 - 34\) \(y^2 = 36\) Извлечем квадратный корень: \(y = \pm\sqrt{36}\) \(y = \pm 6\) Таким образом, координата y может быть \(6\) или \(-6\). Задание №5. Даны векторы \(\vec{a}(2; -1; 0)\); \(\vec{b}(1; 1; 3)\); \(\vec{c}(0; 2; 1)\). Найдите координаты и модуль вектора \(\vec{m} = 2\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}\). Решение: Сначала найдем координаты вектора \(\vec{m}\). Для этого выполним операции с координатами векторов: \(\vec{m}_x = 2 \cdot x_a + 2 \cdot x_b - 3 \cdot x_c\) \(\vec{m}_y = 2 \cdot y_a + 2 \cdot y_b - 3 \cdot y_c\) \(\vec{m}_z = 2 \cdot z_a + 2 \cdot z_b - 3 \cdot z_c\) Подставим значения координат: \(\vec{m}_x = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 4 + 2 - 0 = 6\) \(\vec{m}_y = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -2 + 2 - 6 = -6\) \(\vec{m}_z = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 0 + 6 - 3 = 3\) Таким образом, координаты вектора \(\vec{m}\) равны: \(\vec{m}(6; -6; 3)\). Теперь найдем модуль вектора \(\vec{m}\) по формуле: \(|\vec{m}| = \sqrt{\vec{m}_x^2 + \vec{m}_y^2 + \vec{m}_z^2}\) Подставим найденные координаты: \(|\vec{m}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 3^2}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{36 + 36 + 9}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{81}\) \(|\vec{m}| = 9\) Таким образом, модуль вектора \(\vec{m}\) равен \(9\).