Задача:
С лодки равномерно подтягивают канат, поданный на баркас. Первоначально лодка и баркас покоились, а расстояние между ними было 55 м. Определите путь, пройденный лодкой до встречи с баркасом. Масса лодки 300 кг, масса баркаса 1200 кг. Сопротивлением воды пренебречь. Ответ запишите в метрах.
Решение:
1. Запишем, что нам дано:
- Масса лодки: \(m_л = 300\) кг
- Масса баркаса: \(m_б = 1200\) кг
- Начальное расстояние между лодкой и баркасом: \(S = 55\) м
- Начальные скорости лодки и баркаса равны нулю, так как они покоились.
- Сопротивлением воды пренебрегаем.
2. Нам нужно найти путь, пройденный лодкой до встречи с баркасом. Обозначим его как \(S_л\).
3. Поскольку лодка и баркас взаимодействуют через канат, и внешние силы (сопротивление воды) пренебрежимо малы, мы можем применить закон сохранения импульса для системы "лодка + баркас". Однако, в данном случае, более удобно использовать принцип, что центр масс системы остается неподвижным, так как начальный импульс системы равен нулю (оба тела покоились).
4. Если центр масс системы остается неподвижным, то его координата не меняется. Выберем начало координат в точке, где находилась лодка изначально. Тогда начальная координата лодки \(x_{л0} = 0\), а начальная координата баркаса \(x_{б0} = S = 55\) м.
5. Координата центра масс системы в начальный момент времени:
\[x_{цм} = \frac{m_л x_{л0} + m_б x_{б0}}{m_л + m_б}\] \[x_{цм} = \frac{300 \text{ кг} \cdot 0 \text{ м} + 1200 \text{ кг} \cdot 55 \text{ м}}{300 \text{ кг} + 1200 \text{ кг}}\] \[x_{цм} = \frac{0 + 66000 \text{ кг} \cdot \text{м}}{1500 \text{ кг}}\] \[x_{цм} = \frac{66000}{1500} \text{ м}\] \[x_{цм} = 44 \text{ м}\]6. В момент встречи лодка и баркас окажутся в одной точке. Пусть эта точка имеет координату \(x_{встречи}\). Тогда \(x_{л} = x_{б} = x_{встречи}\). Поскольку центр масс не смещается, его координата останется прежней:
\[x_{цм} = \frac{m_л x_{встречи} + m_б x_{встречи}}{m_л + m_б}\] \[x_{цм} = \frac{(m_л + m_б) x_{встречи}}{m_л + m_б}\] \[x_{цм} = x_{встречи}\]7. Таким образом, встреча произойдет в точке с координатой \(x_{встречи} = 44\) м.
8. Путь, пройденный лодкой, это разность между её конечной и начальной координатами:
\[S_л = x_{встречи} - x_{л0}\] \[S_л = 44 \text{ м} - 0 \text{ м}\] \[S_л = 44 \text{ м}\]9. Путь, пройденный баркасом, это разность между его начальной и конечной координатами (поскольку он движется навстречу, его координата уменьшается):
\[S_б = x_{б0} - x_{встречи}\] \[S_б = 55 \text{ м} - 44 \text{ м}\] \[S_б = 11 \text{ м}\]10. Проверим соотношение путей и масс: \(m_л S_л = m_б S_б\). Это следует из того, что импульсы лодки и баркаса в любой момент времени равны по модулю и противоположны по направлению, а также из того, что ускорения обратно пропорциональны массам, а пути пропорциональны ускорениям (при одинаковом времени движения).
\[300 \text{ кг} \cdot 44 \text{ м} = 13200 \text{ кг} \cdot \text{м}\] \[1200 \text{ кг} \cdot 11 \text{ м} = 13200 \text{ кг} \cdot \text{м}\]Соотношение выполняется, что подтверждает правильность расчетов.
Ответ:
Путь, пройденный лодкой до встречи с баркасом, составляет 44 метра.