Задание №5: Найти координаты и модуль вектора

Продолжаем решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задание №5 (продолжение). а) Даны векторы \(\vec{a}(3; 2; -1)\); \(\vec{b}(-1; 2; -4)\); \(\vec{c}(0; -1; 3)\). Найдите координаты и модуль вектора \(\vec{m} = 3\vec{a} - 5\vec{b} + 2\vec{c}\). Решение: Найдем координаты вектора \(\vec{m}\): \(\vec{m}_x = 3 \cdot x_a - 5 \cdot x_b + 2 \cdot x_c\) \(\vec{m}_y = 3 \cdot y_a - 5 \cdot y_b + 2 \cdot y_c\) \(\vec{m}_z = 3 \cdot z_a - 5 \cdot z_b + 2 \cdot z_c\) Подставим значения координат: \(\vec{m}_x = 3 \cdot 3 - 5 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = 9 + 5 + 0 = 14\) \(\vec{m}_y = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 6 - 10 - 2 = -6\) \(\vec{m}_z = 3 \cdot (-1) - 5 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 = -3 + 20 + 6 = 23\) Таким образом, координаты вектора \(\vec{m}\) равны: \(\vec{m}(14; -6; 23)\). Найдем модуль вектора \(\vec{m}\): \(|\vec{m}| = \sqrt{\vec{m}_x^2 + \vec{m}_y^2 + \vec{m}_z^2}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{14^2 + (-6)^2 + 23^2}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{196 + 36 + 529}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{761}\) Таким образом, модуль вектора \(\vec{m}\) равен \(\sqrt{761}\). б) Даны векторы \(\vec{a}(-1; 2; -4)\); \(\vec{b}(2; -3; 1)\); \(\vec{c}(0; -2; -5)\). Найдите координаты и модуль вектора \(\vec{m} = -2\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{c}\). Решение: Найдем координаты вектора \(\vec{m}\): \(\vec{m}_x = -2 \cdot x_a + 3 \cdot x_b - 5 \cdot x_c\) \(\vec{m}_y = -2 \cdot y_a + 3 \cdot y_b - 5 \cdot y_c\) \(\vec{m}_z = -2 \cdot z_a + 3 \cdot z_b - 5 \cdot z_c\) Подставим значения координат: \(\vec{m}_x = -2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 - 5 \cdot 0 = 2 + 6 - 0 = 8\) \(\vec{m}_y = -2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) - 5 \cdot (-2) = -4 - 9 + 10 = -3\) \(\vec{m}_z = -2 \cdot (-4) + 3 \cdot 1 - 5 \cdot (-5) = 8 + 3 + 25 = 36\) Таким образом, координаты вектора \(\vec{m}\) равны: \(\vec{m}(8; -3; 36)\). Найдем модуль вектора \(\vec{m}\): \(|\vec{m}| = \sqrt{\vec{m}_x^2 + \vec{m}_y^2 + \vec{m}_z^2}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{8^2 + (-3)^2 + 36^2}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{64 + 9 + 1296}\) \(|\vec{m}| = \sqrt{1369}\) \(|\vec{m}| = 37\) Таким образом, модуль вектора \(\vec{m}\) равен \(37\). Образец решения №6. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \(\vec{a} + 3\vec{b}\). Определим координаты вектора \(\vec{a}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{a}\) в точке \((1; 1)\), конец в точке \((3; 4)\). \(\vec{a}_x = 3 - 1 = 2\) \(\vec{a}_y = 4 - 1 = 3\) Значит, \(\vec{a}(2; 3)\). Определим координаты вектора \(\vec{b}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{b}\) в точке \((3; 3)\), конец в точке \((5; 2)\). \(\vec{b}_x = 5 - 3 = 2\) \(\vec{b}_y = 2 - 3 = -1\) Значит, \(\vec{b}(2; -1)\). Найдем координаты вектора \(\vec{a} + 3\vec{b}\): \(\vec{a} + 3\vec{b} = (x_a + 3 \cdot x_b; y_a + 3 \cdot y_b)\) \(\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 3 \cdot 2; 3 + 3 \cdot (-1))\) \(\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 6; 3 - 3)\) \(\vec{a} + 3\vec{b} = (8; 0)\) Найдем длину вектора \(\vec{a} + 3\vec{b}\): \(|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) \(|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{8^2 + 0^2}\) \(|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{64 + 0}\) \(|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{64}\) \(|\vec{a} + 3\vec{b}| = 8\) Задание №6. а) На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора \(\vec{a} + 4\vec{b}\). Решение: Определим координаты вектора \(\vec{a}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{a}\) в точке \((1; 3)\), конец в точке \((3; 2)\). \(\vec{a}_x = 3 - 1 = 2\) \(\vec{a}_y = 2 - 3 = -1\) Значит, \(\vec{a}(2; -1)\). Определим координаты вектора \(\vec{b}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{b}\) в точке \((1; 1)\), конец в точке \((4; 4)\). \(\vec{b}_x = 4 - 1 = 3\) \(\vec{b}_y = 4 - 1 = 3\) Значит, \(\vec{b}(3; 3)\). Найдем координаты вектора \(\vec{a} + 4\vec{b}\): \(\vec{a} + 4\vec{b} = (x_a + 4 \cdot x_b; y_a + 4 \cdot y_b)\) \(\vec{a} + 4\vec{b} = (2 + 4 \cdot 3; -1 + 4 \cdot 3)\) \(\vec{a} + 4\vec{b} = (2 + 12; -1 + 12)\) \(\vec{a} + 4\vec{b} = (14; 11)\) Найдем длину вектора \(\vec{a} + 4\vec{b}\): \(|\vec{a} + 4\vec{b}| = \sqrt{14^2 + 11^2}\) \(|\vec{a} + 4\vec{b}| = \sqrt{196 + 121}\) \(|\vec{a} + 4\vec{b}| = \sqrt{317}\) б) На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\). Решение: Определим координаты вектора \(\vec{a}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{a}\) в точке \((3; 4)\), конец в точке \((6; 2)\). \(\vec{a}_x = 6 - 3 = 3\) \(\vec{a}_y = 2 - 4 = -2\) Значит, \(\vec{a}(3; -2)\). Определим координаты вектора \(\vec{b}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{b}\) в точке \((2; 3)\), конец в точке \((5; 1)\). \(\vec{b}_x = 5 - 2 = 3\) \(\vec{b}_y = 1 - 3 = -2\) Значит, \(\vec{b}(3; -2)\). Определим координаты вектора \(\vec{c}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{c}\) в точке \((0; 1)\), конец в точке \((2; 3)\). \(\vec{c}_x = 2 - 0 = 2\) \(\vec{c}_y = 3 - 1 = 2\) Значит, \(\vec{c}(2; 2)\). Найдем координаты вектора \(7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\): \(x = 7 \cdot x_a - 3 \cdot x_b + 4 \cdot x_c = 7 \cdot 3 - 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 21 - 9 + 8 = 20\) \(y = 7 \cdot y_a - 3 \cdot y_b + 4 \cdot y_c = 7 \cdot (-2) - 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 2 = -14 + 6 + 8 = 0\) Значит, вектор \(7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\) имеет координаты \((20; 0)\). Найдем длину этого вектора: \(|7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}| = \sqrt{20^2 + 0^2} = \sqrt{400} = 20\) в) На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\). Решение: Определим координаты вектора \(\vec{a}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{a}\) в точке \((1; 2)\), конец в точке \((2; 4)\). \(\vec{a}_x = 2 - 1 = 1\) \(\vec{a}_y = 4 - 2 = 2\) Значит, \(\vec{a}(1; 2)\). Определим координаты вектора \(\vec{b}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{b}\) в точке \((1; 1)\), конец в точке \((4; 1)\). \(\vec{b}_x = 4 - 1 = 3\) \(\vec{b}_y = 1 - 1 = 0\) Значит, \(\vec{b}(3; 0)\). Определим координаты вектора \(\vec{c}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{c}\) в точке \((1; 4)\), конец в точке \((5; 3)\). \(\vec{c}_x = 5 - 1 = 4\) \(\vec{c}_y = 3 - 4 = -1\) Значит, \(\vec{c}(4; -1)\). Найдем координаты вектора \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\): \(x = x_a + x_b - x_c = 1 + 3 - 4 = 0\) \(y = y_a + y_b - y_c = 2 + 0 - (-1) = 2 + 1 = 3\) Значит, вектор \(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}\) имеет координаты \((0; 3)\). Найдем длину этого вектора: \(|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3\) г) На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}\). Решение: Определим координаты вектора \(\vec{a}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{a}\) в точке \((3; 1)\), конец в точке \((4; 4)\). \(\vec{a}_x = 4 - 3 = 1\) \(\vec{a}_y = 4 - 1 = 3\) Значит, \(\vec{a}(1; 3)\). Определим координаты вектора \(\vec{b}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{b}\) в точке \((1; 2)\), конец в точке \((2; 1)\). \(\vec{b}_x = 2 - 1 = 1\) \(\vec{b}_y = 1 - 2 = -1\) Значит, \(\vec{b}(1; -1)\). Определим координаты вектора \(\vec{c}\) по рисунку: Начало вектора \(\vec{c}\) в точке \((0; 0)\), конец в точке \((2; 4)\). \(\vec{c}_x = 2 - 0 = 2\) \(\vec{c}_y = 4 - 0 = 4\) Значит, \(\vec{c}(2; 4)\). Найдем координаты вектора \(3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}\): \(x = 3 \cdot x_a + 4 \cdot x_b - 5 \cdot x_c = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 5 \cdot 2 = 3 + 4 - 10 = -3\) \(y = 3 \cdot y_a + 4 \cdot y_b - 5 \cdot y_c = 3 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) - 5 \cdot 4 = 9 - 4 - 20 = -15\) Значит, вектор \(3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}\) имеет координаты \((-3; -15)\). Найдем длину этого вектора: \(|3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + (-15)^2}\) \(|3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}| = \sqrt{9 + 225}\) \(|3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}| = \sqrt{234}\) \(|3\vec{a} + 4\vec{b} - 5\vec{c}| = \sqrt{9 \cdot 26} = 3\sqrt{26}\)