Задача:
Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении предмет массой 2 кг со скоростью 15 м/с относительно льда и откатывается в обратном направлении на 40 см. Найдите массу конькобежца, если коэффициент трения коньков о лед равен 0.02. Ответ запишите в килограммах.
Решение:
1. Запишем, что нам дано:
- Масса предмета: \(m_п = 2\) кг
- Скорость предмета относительно льда: \(v_п = 15\) м/с
- Расстояние, на которое откатывается конькобежец: \(S = 40\) см = 0.4 м
- Коэффициент трения коньков о лед: \(\mu = 0.02\)
- Ускорение свободного падения: \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\) (или 10 м/с\(^2\), если не указано иное, для простоты расчетов часто используют 10 м/с\(^2\). Давайте использовать 10 м/с\(^2\)).
2. Нам нужно найти массу конькобежца. Обозначим её как \(m_к\).
3. Задача состоит из двух частей: а) Бросок предмета, при котором применяется закон сохранения импульса. б) Движение конькобежца с учетом силы трения, при котором применяется закон сохранения энергии или кинематические формулы с учетом силы трения.
Часть 1: Бросок предмета (Закон сохранения импульса)
4. До броска конькобежец и предмет покоились, поэтому их суммарный импульс был равен нулю.
\[P_{до} = 0\]5. После броска предмет движется со скоростью \(v_п\), а конькобежец откатывается в противоположном направлении со скоростью \(v_к\). Примем направление движения предмета за положительное.
\[P_{после} = m_п v_п - m_к v_к\]Знак минус перед \(m_к v_к\) указывает на то, что конькобежец движется в противоположном направлении.
6. По закону сохранения импульса:
\[P_{до} = P_{после}\] \[0 = m_п v_п - m_к v_к\] \[m_к v_к = m_п v_п\]7. Выразим начальную скорость конькобежца \(v_к\):
\[v_к = \frac{m_п v_п}{m_к}\]Часть 2: Движение конькобежца (Работа силы трения)
8. Конькобежец начинает двигаться со скоростью \(v_к\) и останавливается, пройдя расстояние \(S\). Причиной остановки является сила трения.
9. Сила трения \(F_{тр}\) определяется как:
\[F_{тр} = \mu N\]Где \(N\) - сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности \(N = m_к g\).
\[F_{тр} = \mu m_к g\]10. Работа силы трения \(A_{тр}\) отрицательна, так как сила трения направлена против движения:
\[A_{тр} = -F_{тр} S = -\mu m_к g S\]11. По теореме об изменении кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. В данном случае, работа силы трения равна изменению кинетической энергии конькобежца (от начальной \(E_{к.нач}\) до конечной \(E_{к.кон}\), которая равна нулю, так как конькобежец останавливается).
\[A_{тр} = E_{к.кон} - E_{к.нач}\] \[-\mu m_к g S = 0 - \frac{1}{2} m_к v_к^2\] \[\mu m_к g S = \frac{1}{2} m_к v_к^2\]12. Обратите внимание, что масса конькобежца \(m_к\) сокращается из обеих частей уравнения:
\[\mu g S = \frac{1}{2} v_к^2\]13. Выразим \(v_к\) из этого уравнения:
\[v_к^2 = 2 \mu g S\] \[v_к = \sqrt{2 \mu g S}\]Часть 3: Объединение результатов
14. Теперь у нас есть два выражения для \(v_к\). Приравняем их:
\[\frac{m_п v_п}{m_к} = \sqrt{2 \mu g S}\]15. Выразим массу конькобежца \(m_к\):
\[m_к = \frac{m_п v_п}{\sqrt{2 \mu g S}}\]16. Подставим числовые значения:
\[m_к = \frac{2 \text{ кг} \cdot 15 \text{ м/с}}{\sqrt{2 \cdot 0.02 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м}}}\] \[m_к = \frac{30 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{\sqrt{0.04 \cdot 4 \text{ м}^2/\text{с}^2}}\] \[m_к = \frac{30 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{\sqrt{0.16 \text{ м}^2/\text{с}^2}}\] \[m_к = \frac{30 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.4 \text{ м/с}}\] \[m_к = \frac{30}{0.4} \text{ кг}\] \[m_к = 75 \text{ кг}\]Ответ:
Масса конькобежца составляет 75 килограммов.