Промежуточная контрольная работа уч. 9Б класса
1 вариант
Часть 1
Модуль «Алгебра»
1. Найдите значение выражения
\(0.3\sqrt{25} - \sqrt{0.36}\)
Решение:
Сначала вычислим корни:
\(\sqrt{25} = 5\)
\(\sqrt{0.36} = 0.6\)
Теперь подставим эти значения в выражение:
\(0.3 \cdot 5 - 0.6\)
\(1.5 - 0.6\)
\(0.9\)
Ответ: \(0.9\)
2. Укажите решение системы неравенств
\[\begin{cases} x > -1 \\ -4 - x > 0 \end{cases}\]
Решение:
Решим второе неравенство:
\(-4 - x > 0\)
\(-x > 4\)
Умножим обе части на \(-1\), при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\(x < -4\)
Теперь у нас есть система:
\[\begin{cases} x > -1 \\ x < -4 \end{cases}\]
Нарисуем числовую прямую для каждого неравенства:
Для \(x > -1\): все числа правее \(-1\).
Для \(x < -4\): все числа левее \(-4\).
Мы видим, что нет общих значений \(x\), которые удовлетворяли бы обоим неравенствам одновременно. То есть, нет чисел, которые были бы одновременно больше \(-1\) и меньше \(-4\).
Ответ: 4) нет решений
3. Найдите значение выражения
\((a^3)^2 \cdot a^{-8}\) при \(a = -3\)
Решение:
Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:
\((a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6\)
Теперь умножим на \(a^{-8}\):
\(a^6 \cdot a^{-8} = a^{6 + (-8)} = a^{6 - 8} = a^{-2}\)
Выражение \(a^{-2}\) можно записать как \(\frac{1}{a^2}\).
Теперь подставим значение \(a = -3\):
\(\frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}\)
Ответ: \(\frac{1}{9}\)
4. Найдите корни уравнения
\(x^2 - 3x - 4 = 0\)
Решение:
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-4\).
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Вычислим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\)
\(D = 9 - (-16)\)
\(D = 9 + 16\)
\(D = 25\)
Теперь найдем корни:
\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -1\)
5. Упростите выражение: \(\frac{x^2 - 4}{a - b} \cdot \frac{3a - 3b}{x^2 + 2x}\)
Найдите значение при \(x=2\).
Решение:
Сначала упростим каждую дробь, разложив числители и знаменатели на множители:
Первая дробь: \(\frac{x^2 - 4}{a - b}\)
Числитель \(x^2 - 4\) - это разность квадратов: \((x - 2)(x + 2)\).
Знаменатель \(a - b\) остается без изменений.
Вторая дробь: \(\frac{3a - 3b}{x^2 + 2x}\)
Числитель \(3a - 3b\) - вынесем общий множитель \(3\): \(3(a - b)\).
Знаменатель \(x^2 + 2x\) - вынесем общий множитель \(x\): \(x(x + 2)\).
Теперь перепишем произведение дробей с разложенными множителями:
\(\frac{(x - 2)(x + 2)}{a - b} \cdot \frac{3(a - b)}{x(x + 2)}\)
Сократим общие множители в числителе и знаменателе: \((x + 2)\) и \((a - b)\).
\(\frac{(x - 2) \cdot 3}{x}\)
Упрощенное выражение: \(\frac{3(x - 2)}{x}\)
Теперь найдем значение выражения при \(x = 2\):
\(\frac{3(2 - 2)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = \frac{0}{2} = 0\)
Ответ: \(0\)
Модуль «Геометрия»
6. Найдите больший угол равнобедренной трапеции \(ABCD\), если диагональ \(AC\) образует с основанием \(AD\) и боковой стороной \(AB\) углы, равные \(30^\circ\) и \(45^\circ\) соответственно.
Решение:
Дана равнобедренная трапеция \(ABCD\). Это означает, что боковые стороны \(AB = CD\) и углы при основаниях равны: \(\angle DAB = \angle CDA\), \(\angle ABC = \angle BCD\).
Диагональ \(AC\) образует с основанием \(AD\) угол \(\angle CAD = 30^\circ\).
Диагональ \(AC\) образует с боковой стороной \(AB\) угол \(\angle BAC = 45^\circ\).
Тогда угол \(\angle DAB\) (угол при основании \(AD\)) равен сумме этих углов:
\(\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ\).
Так как трапеция равнобедренная, то \(\angle CDA = \angle DAB = 75^\circ\).
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \(180^\circ\). То есть, \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\).
Тогда \(\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).
Так как трапеция равнобедренная, то \(\angle BCD = \angle ABC = 105^\circ\).
Углы трапеции: \(75^\circ, 105^\circ, 105^\circ, 75^\circ\).
Больший угол трапеции равен \(105^\circ\).
Ответ: \(105^\circ\)
7. Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 15 м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах.
Решение:
Эта задача описывает прямоугольный треугольник. Стена дома и земля образуют прямой угол. Лестница является гипотенузой, а высота окна и расстояние от стены до нижнего конца лестницы - катетами.
Пусть \(h\) - высота окна от земли (\(h = 15\) м).
Пусть \(d\) - расстояние от стены до нижнего конца лестницы (\(d = 8\) м).
Пусть \(L\) - длина лестницы (гипотенуза).
По теореме Пифагора: \(L^2 = h^2 + d^2\).
\(L^2 = 15^2 + 8^2\)
\(L^2 = 225 + 64\)
\(L^2 = 289\)
\(L = \sqrt{289}\)
\(L = 17\)
Длина лестницы составляет 17 метров.
Ответ: \(17\)
8. Укажите номера верных утверждений.
1) Смежные углы равны.
2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
3) Если угол равен \(108^\circ\), то вертикальный с ним равен \(108^\circ\).
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) Смежные углы равны.
Смежные углы - это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов всегда равна \(180^\circ\). Они равны только в том случае, если каждый из них равен \(90^\circ\). В общем случае они не равны. Например, углы \(30^\circ\) и \(150^\circ\) смежные, но не равны. Это утверждение неверно.
2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
Это утверждение не всегда верно. Если прямые параллельны, они не имеют общих точек. Если прямые совпадают, они имеют бесконечно много общих точек. Только пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку. Это утверждение неверно.
3) Если угол равен \(108^\circ\), то вертикальный с ним равен \(108^\circ\).
Вертикальные углы - это два угла, образованные при пересечении двух прямых, которые не являются смежными. Вертикальные углы всегда равны. Если один угол равен \(108^\circ\), то и вертикальный с ним угол равен \(108^\circ\). Это утверждение верно.
Ответ: 3
Часть 2
9. (2 балла) Решите неравенство:
\(5(2 - x) - (x + 3) \le 4(x - 6)\)
Решение:
Раскроем скобки:
\(10 - 5x - x - 3 \le 4x - 24\)
Приведем подобные слагаемые в левой части:
\(7 - 6x \le 4x - 24\)
Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а свободные члены - в другую. Перенесем \(4x\) влево и \(7\) вправо:
\(-6x - 4x \le -24 - 7\)
\(-10x \le -31\)
Разделим обе части неравенства на \(-10\). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\(x \ge \frac{-31}{-10}\)
\(x \ge 3.1\)
Ответ: \(x \ge 3.1\)
10. (2 балла) Пешеход прошел по шоссе 5 км с постоянной скоростью и 6 км по лесу со скоростью на 3 км/ч меньше, чем по шоссе. Найдите скорость пешехода при ходьбе по лесу, если он был в пути 4 часа.
Решение:
Пусть скорость пешехода по шоссе будет \(v\) км/ч.
Тогда скорость пешехода по лесу будет \((v - 3)\) км/ч.
Расстояние по шоссе: \(S_1 = 5\) км.
Расстояние по лесу: \(S_2 = 6\) км.
Время, затраченное на путь по шоссе: \(t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{5}{v}\) часа.
Время, затраченное на путь по лесу: \(t_2 = \frac{S_2}{v - 3} = \frac{6}{v - 3}\) часа.
Общее время в пути: \(t_{общ} = t_1 + t_2 = 4\) часа.
Составим уравнение:
\(\frac{5}{v} + \frac{6}{v - 3} = 4\)
Приведем дроби к общему знаменателю \(v(v - 3)\):
\(\frac{5(v - 3)}{v(v - 3)} + \frac{6v}{v(v - 3)} = 4\)
\(\frac{5v - 15 + 6v}{v(v - 3)} = 4\)
\(\frac{11v - 15}{v^2 - 3v} = 4\)
Умножим обе части на \(v^2 - 3v\), при условии, что \(v \ne 0\) и \(v \ne 3\):
\(11v - 15 = 4(v^2 - 3v)\)
\(11v - 15 = 4v^2 - 12v\)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(4v^2 - 12v - 11v + 15 = 0\)
\(4v^2 - 23v + 15 = 0\)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15\)
\(D = 529 - 240\)
\(D = 289\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\)
Найдем значения \(v\):
\(v_1 = \frac{-(-23) + 17}{2 \cdot 4} = \frac{23 + 17}{8} = \frac{40}{8} = 5\)
\(v_2 = \frac{-(-23) - 17}{2 \cdot 4} = \frac{23 - 17}{8} = \frac{6}{8} = 0.75\)
Проверим условия: \(v \ne 0\) и \(v \ne 3\). Оба корня удовлетворяют этим условиям.
Теперь проверим условие для скорости по лесу: \(v - 3 > 0\).
Если \(v = 5\), то скорость по лесу \(5 - 3 = 2\) км/ч. Это возможно.
Если \(v = 0.75\), то скорость по лесу \(0.75 - 3 = -2.25\) км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.
Значит, скорость по шоссе \(v = 5\) км/ч.
Нас просят найти скорость пешехода при ходьбе по лесу, которая равна \(v - 3\).
Скорость по лесу \(= 5 - 3 = 2\) км/ч.
Ответ: \(2\) км/ч
11. (2 балла) Боковая сторона равнобокой трапеции равна 5 см. Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 2 см и 8 см.
Решение:
Дана равнобокая трапеция. Это означает, что боковые стороны равны, и углы при основаниях тоже равны.
Пусть основания трапеции \(a = 8\) см (большее основание) и \(b = 2\) см (меньшее основание).
Боковая сторона \(c = 5\) см.
Пусть \(h\) - высота трапеции.
Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Эти высоты отсекут от трапеции два равных прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник посередине.
Длина отрезка, отсекаемого высотой на большем основании, равна \(\frac{a - b}{2}\).
В нашем случае: \(\frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.
Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза - это боковая сторона трапеции (\(c = 5\) см), один катет - это высота трапеции (\(h\)), а другой катет - это найденный отрезок (\(3\) см).
По теореме Пифагора:
\(c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2\)
\(5^2 = h^2 + 3^2\)
\(25 = h^2 + 9\)
\(h^2 = 25 - 9\)
\(h^2 = 16\)
\(h = \sqrt{16}\)
\(h = 4\)
Высота трапеции равна 4 см.
Ответ: \(4\) см